Sejam A, B e C eventos do mesmo espaço amostral Ω. Verifique que:
(g) \left[\left(A \cap B^{c} \cap C\right) \cup\left(A^{c} \cap B \cap C\right)\right] \cap\left(A \cap B \cap C^{c}\right)=\emptyset;

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a interseção
\bigl[(A\cap B^{c}\cap C)\;\cup\;(A^{c}\cap B\cap C)\bigr]\;\cap\;(A\cap B\cap C^{c})
é vazia.
Aqui o conteúdo é álgebra de conjuntos: usamos a distribuição da interseção sobre a união e o fato de X\cap X^{c}=\emptyset.

Passo 2

Aplicamos a propriedade distributiva
(X\cup Y)\cap Z \;=\;(X\cap Z)\;\cup\;(Y\cap Z)
com
X = A\cap B^{c}\cap C,\quad Y = A^{c}\cap B\cap C,\quad Z = A\cap B\cap C^{c}.
Fica então
\bigl[(A\cap B^{c}\cap C)\cup(A^{c}\cap B\cap C)\bigr]\cap(A\cap B\cap C^{c}) =(X\cap Z)\;\cup\;(Y\cap Z).

Passo 3

Calculamos X\cap Z:
X\cap Z = (A\cap B^{c}\cap C)\;\cap\;(A\cap B\cap C^{c}) = A\cap B^{c}\cap B\cap C\cap C^{c}.
Mas B^{c}\cap B=\emptyset e C\cap C^{c}=\emptyset, então
X\cap Z = A\cap\emptyset\cap\emptyset = \emptyset.

Passo 4

De modo análogo, para Y\cap Z:
Y\cap Z = (A^{c}\cap B\cap C)\;\cap\;(A\cap B\cap C^{c}) = A^{c}\cap A\cap B\cap C\cap C^{c} = \emptyset,
pois A^{c}\cap A=\emptyset e C\cap C^{c}=\emptyset.
Portanto
(X\cap Z)\;\cup\;(Y\cap Z) = \emptyset\cup\emptyset = \emptyset.

Resposta

\emptyset

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