Exercício 1
(1,25 Ponto) a) Seja a função característica do conjunto , ou seja,
Mostre que para todo phi in Cc^infty(R^2), temos
De<a(chiR+^2)(phi)=-integral-infty^infty partial phipartial y(x, 0) d x
em que De<a=partial^2partial x^2+partial^2partial y^2. (1,25 Ponto ) b) Determine o suporte e o suporte singular das distibuições chiR+^2 e De<a(chiR+^2).
Passo 1
O enunciado define a distribuição dada pela função característica
chiR+^2(x,y)= 1,&y>0, 0,&y<=0,
e pede para mostrar que, em senso de distribuições em R^2,
onde De<a=partial^2partial x^2+partial^2partial y^2.
Depois, pede-se o suporte e o suporte singular de chiR+^2 e de De<a(chiR+^2).
Conteúdo usado: definição de derivada de distribuições e integrações por partes com teste compacto.
Passo 2
Pela definição de derivada em distribuições, para todo phiin Cc^infty(R^2) vale
Suporte da distribuição chiR+^2: é o fecho do conjunto onde ela não se anula. Como chi=0 para y<0 e chi=1 para y>0, temos
supp,chiR+^2 =(x,y)inR^2:y>=0
Passo 7
Suporte singular de chiR+^2: são os pontos onde chi não é suave. Ela é constante em y>0 e em y<0, portanto a descontinuidade está em y=0. Assim
singsupp,chiR+^2 =(x,y)inR^2:y=0
Passo 8
Suporte de De<a(chiR+^2): a expressão -integral-infty^inftyphiy(x,0),dx
mostra que esta distribuição “vive” apenas na reta y=0. Logo
supp,De<al(chiR+^2r) =(x,y)inR^2:y=0
Passo 9
Suporte singular de De<a(chiR+^2): como é uma distribuição concentrada na reta y=0 e inexistente como função suave ali, seu suporte singular coincide com a reta: