Exercício 1
(1,25 Ponto) a) Seja chiR+^2 a função característica do conjunto R+^2, ou seja,
chiR+^2(x, y)=l 1, x in R, y>0 0, x in R, y <= 0
Mostre que para todo phi in Cc^infty(R^2), temos
De<a(chiR+^2)(phi)=-integral-infty^infty partial phipartial y(x, 0) d x
em que De<a=partial^2partial x^2+partial^2partial y^2.
(1,25 Ponto ) b) Determine o suporte e o suporte singular das distibuições chiR+^2 e De<a(chiR+^2).

Passo 1

O enunciado define a distribuição dada pela função característica
chiR+^2(x,y)= 1,&y>0, 0,&y<=0,
e pede para mostrar que, em senso de distribuições em R^2,
De<al(chiR+^2r)(phi) =-integral-infty^inftypartialphipartial y(x,0),dx forallphiin Cc^infty(R^2),
onde De<a=partial^2partial x^2+partial^2partial y^2.
Depois, pede-se o suporte e o suporte singular de chiR+^2 e de De<a(chiR+^2).
Conteúdo usado: definição de derivada de distribuições e integrações por partes com teste compacto.

Passo 2

Pela definição de derivada em distribuições, para todo phiin Cc^infty(R^2) vale
De<al(chiR+^2r)(phi) =chiR+^2l(De<aphir) =integralR^2chiR+^2(x,y),De<aphi(x,y),dx,dy =integraly>0l(phixx+phiyyr),dx,dy

Passo 3

Separamos as duas parcelas:
  1. Para integraly>0phixx,dx,dy, integramos em x por partes. Como phi tem suporte compacto em x, as contribuições de xtopminfty se anulam, logo
integraly>0phixx,dx,dy =integral0^inftyl[phix(x,y)r]x=-infty^x=+infty,dy =0

Passo 4

  1. Para integraly>0phiyy,dx,dy, integramos em y por partes:
integral0^inftyphiyy(x,y),dy =l[phiy(x,y)r]y=0^y=infty =-phiy(x,0),
pois phiy(x,infty)=0. Integrando em x obtemos
integraly>0phiyy,dx,dy =-integral-infty^inftyphiy(x,0),dx

Passo 5

Somando as duas parcelas, conclui-se
De<al(chiR+^2r)(phi) =-integral-infty^inftypartialphipartial y(x,0),dx,
como desejado.

Passo 6

Suporte da distribuição chiR+^2: é o fecho do conjunto onde ela não se anula. Como chi=0 para y<0 e chi=1 para y>0, temos
supp,chiR+^2 =(x,y)inR^2:y>=0

Passo 7

Suporte singular de chiR+^2: são os pontos onde chi não é suave. Ela é constante em y>0 e em y<0, portanto a descontinuidade está em y=0. Assim
singsupp,chiR+^2 =(x,y)inR^2:y=0

Passo 8

Suporte de De<a(chiR+^2): a expressão
-integral-infty^inftyphiy(x,0),dx
mostra que esta distribuição “vive” apenas na reta y=0. Logo
supp,De<al(chiR+^2r) =(x,y)inR^2:y=0

Passo 9

Suporte singular de De<a(chiR+^2): como é uma distribuição concentrada na reta y=0 e inexistente como função suave ali, seu suporte singular coincide com a reta:
singsupp,De<al(chiR+^2r) =(x,y)inR^2:y=0

Resposta

a) Foi mostrado que
De<al(chiR+^2r)(phi) =-integral-infty^inftypartialphipartial y(x,0),dx
b)
supp,chiR+^2=y>=0,
singsupp,chiR+^2=y=0,
supp,De<a(chiR+^2)=y=0,
singsupp,De<a(chiR+^2)=y=0

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