Sejam
um corpo e
um subconjunto não vazio de
tal que com as operações de
é um corpo (neste caso, dizemos que
é um subcorpo de
). Mostre que
é um espaço vetorial sobre
. Mais geralmente, mostre que se
for um espaço vetorial sobre
, então será um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
O enunciado trata de corpos
em que
é subcorpo de
e pede para mostrar que, visto de fora,
vira um espaço vetorial sobre
. Mais ainda, se
é espaço vetorial sobre
, então queremos ver
como espaço vetorial sobre o subcorpo
. O que vamos usar é simplesmente a definição de espaço vetorial (grupo abeliano
multiplicação por escalar) e o fato de que todas as propriedades valem em
, logo também valem quando restringimos os escalares a
.
Passo 2
Seja
um espaço vetorial sobre
. Isto significa que
.
é um grupo abeliano com elemento neutro
.
. Há um produto escalar
,
, satisfazendo as propriedades usuais.
Agora definimos a ação de sobre
simplesmente restringindo o produto escalar:
Agora definimos a ação de
onde, no lado direito, interpretamos
como em
sobre
.
Passo 3
Precisamos verificar que essas operações fazem de
um espaço vetorial sobre
. Basta checar as quatro regras de multiplicação por escalar para todos
e
:
Mas cada uma dessas igualdades já vale em
, e como
estão em
, elas continuam verdadeiras. Além disso,
continua sendo grupo abeliano sem mexer em nada. Logo
satisfaz todas as condições de espaço vetorial sobre
.
Passo 4
No caso particular
(com adição e multiplicação do próprio corpo), repetimos o mesmo argumento:
é grupo abeliano e a multiplicação de
em
é só a multiplicação usual, que satisfaz os axiomas acima porque
é subcorpo. Portanto
é espaço vetorial sobre
.
Resposta
Mostramos que, restringindo o produto escalar de
para
, qualquer espaço vetorial
sobre
satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre
. Em particular, tomando
, obtemos que
é espaço vetorial sobre o subcorpo
.