Sejam K um corpo e K^prime subset K um subconjunto não vazio de K tal que com as operações de K é um corpo (neste caso, dizemos que K^prime é um subcorpo de K ). Mostre que K é um espaço vetorial sobre K ^ prime . Mais geralmente, mostre que se V for um espaço vetorial sobre K, então será um espaço vetorial sobre K^prime.

Passo 1

O enunciado trata de corpos K'subsetK em que K' é subcorpo de K e pede para mostrar que, visto de fora, K vira um espaço vetorial sobre K'. Mais ainda, se V é espaço vetorial sobre K, então queremos ver V como espaço vetorial sobre o subcorpo K'. O que vamos usar é simplesmente a definição de espaço vetorial (grupo abeliano + multiplicação por escalar) e o fato de que todas as propriedades valem em K, logo também valem quando restringimos os escalares a K'.

Passo 2

Seja V um espaço vetorial sobre K. Isto significa que
1. (V,+) é um grupo abeliano com elemento neutro 0V.
2. Há um produto escalar Ktimes Vto V, (lambda,v)mapsto lambda v, satisfazendo as propriedades usuais.
Agora definimos a ação de K' sobre V simplesmente restringindo o produto escalar:
K'times V ;longrightarrow;V, (lambda,v);mapsto;lambda v
onde, no lado direito, interpretamos lambda v como em V sobre K.

Passo 3

Precisamos verificar que essas operações fazem de V um espaço vetorial sobre K'. Basta checar as quatro regras de multiplicação por escalar para todos lambda,muinK' e v,win V:
(lambda+mu),v = lambda v + mu v,
lambda,(v+w) = lambda v + lambda w,
(lambdamu),v = lambda,(mu v),
1K',v = v
Mas cada uma dessas igualdades já vale em K, e como lambda,mu estão em K'subsetK, elas continuam verdadeiras. Além disso, (V,+) continua sendo grupo abeliano sem mexer em nada. Logo V satisfaz todas as condições de espaço vetorial sobre K'.

Passo 4

No caso particular V=K (com adição e multiplicação do próprio corpo), repetimos o mesmo argumento: (K,+) é grupo abeliano e a multiplicação de K' em K é só a multiplicação usual, que satisfaz os axiomas acima porque K'subsetK é subcorpo. Portanto K é espaço vetorial sobre K'.

Resposta

Mostramos que, restringindo o produto escalar de K para K', qualquer espaço vetorial V sobre K satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre K'. Em particular, tomando V=K, obtemos que K é espaço vetorial sobre o subcorpo K'.

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