Mostre que
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
é um espaço vetorial sobre
.
Aqui o conteúdo é teoria de espaços vetoriais (sobre um corpo) e a ideia é verificar todos os axiomas de espaço vetorial para o conjunto
Aqui o conteúdo é teoria de espaços vetoriais (sobre um corpo) e a ideia é verificar todos os axiomas de espaço vetorial para o conjunto
com as operações usuais herdadas de
: soma e multiplicação por escalares em
.
Passo 2
Primeiro vamos ver a estrutura de grupo abeliano em
.
- (Fechamento em adição) Se
com
, então
e
, logo
.
- (Elemento neutro) O zero é
- (Inverso aditivo) Para
temos
- (Comutatividade e associatividade) Seguem diretamente das propriedades em
.
Assim concluímos que
é um grupo abeliano.
Passo 3
Agora verificamos as propriedades de multiplicação por escalares em
. Se
e
, definimos
- (Fechamento) Como
e estão em , segue que . - (Distributividade em relação à soma de vetores)
- (Distributividade em relação à soma de escalares)
- (Compatibilidade com produto de escalares)
- (Elemento neutro de escalares)
Passo 4
Vimos que
, com a soma herdada de
e multiplicação por escalares em
, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo
.
Resposta
Concluímos que
é de fato um espaço vetorial sobre
.