Mostre que Q(raiz( 2) é um espaço vetorial sobre Q.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
Q(raiz2) é um espaço vetorial sobre Q.
Aqui o conteúdo é teoria de espaços vetoriais (sobre um corpo) e a ideia é verificar todos os axiomas de espaço vetorial para o conjunto
Q(raiz2) = ,a + braiz2 mid a,b in Q,
com as operações usuais herdadas de R: soma e multiplicação por escalares em Q.

Passo 2

Primeiro vamos ver a estrutura de grupo abeliano em (Q(raiz2),+).
  • (Fechamento em adição) Se
x = a1 + b1raiz2, y = a2 + b2raiz2
com ai,biinQ, então
x+y = (a1+a2) + (b1+b2)raiz2,
e (a1+a2),(b1+b2)inQ, logo x+yinQ(raiz2).
  • (Elemento neutro) O zero é
0 = 0 + 0raiz2inQ(raiz2)
  • (Inverso aditivo) Para
x = a + braiz2
temos
-,x = (-a) + (-b)raiz2inQ(raiz2)
  • (Comutatividade e associatividade) Seguem diretamente das propriedades em R.
Assim concluímos que l(Q(raiz2),+r) é um grupo abeliano.

Passo 3

Agora verificamos as propriedades de multiplicação por escalares em Q. Se qinQ e x=a+braiz2, definimos
qcdot x = q,a + q,b,raiz2
  • (Fechamento) Como q,a e q,b estão em Q, segue que qcdot xinQ(raiz2).
  • (Distributividade em relação à soma de vetores)
qcdot(x+y) = qcdotl((a1+a2)+(b1+b2)raiz2r) = q(a1+a2) + q(b1+b2)raiz2
= (qa1+qa2) + (qb1+qb2)raiz2 = (qa1+qb1)raiz2 + (qa2+qb2)raiz2 = qcdot x + qcdot y
  • (Distributividade em relação à soma de escalares)
(q1+q2)cdot x = (q1+q2)a + (q1+q2)b,raiz2 = q1a+q2a + (q1b+q2b)raiz2 = q1cdot x + q2cdot x
  • (Compatibilidade com produto de escalares)
(q1q2)cdot x = (q1q2)a + (q1q2)braiz2 = q1cdotl(q2a + q2braiz2r) = q1cdot(q2cdot x)
  • (Elemento neutro de escalares)
1cdot x = 1cdot a + 1cdot b,raiz2 = a + braiz2 = x

Passo 4

Vimos que Q(raiz2), com a soma herdada de R e multiplicação por escalares em Q, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo Q.

Resposta

Concluímos que Q(raiz2) é de fato um espaço vetorial sobre Q.

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