Mostre que o conjunto i+2 j+3 k, 2 i+j-2 k, 3 i+j+k, 4 i-j-2 k é linearmente dependente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
v1,v2,v3,v4subsetR^3, onde
v1=i+2j+3k,
v2=2i+j-2k,
v3=3i+j+k e
v4=4i-j-2k,
é linearmente dependente.
Lembra que um conjunto de vetores é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero.

Passo 2

Formulamos a combinação linear desconhecida
alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3+alpha4v4=0,
ou seja, em componentes
alpha1+2alpha2+3alpha3+4alpha4=0, 2alpha1+alpha2+alpha3-alpha4=0, 3alpha1-2alpha2+alpha3-2alpha4=0

Passo 3

Temos 3 equações e 4 incógnitas, então esperamos um grau de liberdade.
Pela segunda equação,
alpha2=-2alpha1-alpha3+alpha4.
Substituindo em todas e eliminando, obtemos a relação
8alpha3+15alpha4=0
Escolhemos alpha4=8, daí alpha3=-15.
Voltando,
alpha1=(alpha3+6alpha4)/3=( -15+48)/3=11
e
alpha2=(-5alpha3-9alpha4)/3=(75-72)/3=1.

Passo 4

Assim encontramos a combinação não trivial
11,v1;+;1,v2;-;15,v3;+;8,v4 =0,
o que mostra que o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente, pois
11(i+2j+3k) +1(2i+j-2k) -15(3i+j+k) +8(4i-j-2k) =0

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