Exercício 2

(1,25 Ponto) a) Seja f in C^infty(R) um polinômio, ou seja, f(x)=sumj=0^m aj x^j com aj in C, e u in E^prime(R). Mostre que u * f: R C é um polinômio.
(1,25 Ponto) b) Seja 1 in S^prime(R) a distribuição temperada dada pela função 1. Calcule F(1) e F(x^j), para j >= 1. A partir disto, responda: qual é o suporte de F(u * f) ?

Passo 1

O enunciado trata de duas coisas principais. Primeiro, dado f(x)=sumj=0^m aj x^j (polinômio) e uin E'( R) (distribuição de suporte compacto), mostraremos em (a) que
u * f: Rto C
é também um polinômio. Em (b) consideramos a distribuição temperada 1in S'( R) dada pela função constante 1, calculamos sua transformada de Fourier e a de x^j, e a partir disso determinar o suporte de F(u*f). Para isso usaremos:
1. A definição de convolução entre distribuição de suporte compacto e função suave.
2. A expansão binomial para (x-y)^j.
3. O fato de que
F(1)=2pi,de<a e F(x^j)=i^j,2pi,de<a^(j),
além de F(u*f)= F(u)cdot F(f).

Passo 2

Por definição de convolução u*f quando uin E'( R) e fin C^infty( R) é a função
(u*f)(x) =llang<= u(,cdot,),,f(x-cdot)rrang<=
Como f(t)=sumj=0^m aj t^j, temos
(u*f)(x) =llang<= u(y),,sumj=0^m aj,(x-y)^jrrang<= =sumj=0^m aj,llang<= u(y),(x-y)^jrrang<=
Cada termo lang<= u(y),(x-y)^jrang<= é uma combinação finita de potências de x, logo a soma também é polinomial.

Passo 3

De fato, pela fórmula binomial
(x-y)^j =sumk=0^j binom j k,x^,j-k,(-y)^k
temos
llang<= u(y),(x-y)^jrrang<= =sumk=0^j binom j k,x^,j-k,lang<= u(y),(-y)^krang<=,
ou seja, cada lang<= u(y),(-y)^krang<= é uma constante (depende só de u e k), e o produto por x^,j-k mostra que u*f é um polinômio de grau no máximo m.

Passo 4

Agora (b): adotando a convenção
F(varphi)(xi) =integral Re^-ixxi,varphi(x),dx
para varphiin S( R), estendemos a S'. Então, como função constante,
F(1) =integral Re^-ixxi,1,dx =2pi,de<a(xi)

Passo 5

Para x^j (função polinomial, temperada) usa-se que a transformada de Fourier leva monômio em derivada de delta:
F(x^j) = i^j,(2pi),de<a^(j)(xi)
Isso segue integrando por partes j vezes ou usando definição de distribuição.

Passo 6

Finalmente, como widehatu*f=widehat ucdotwidehat f em S', e widehat f é combinação finita de de<a e suas derivadas (todas suportadas em 0), o produto tem suporte contido em
supp,widehat u;cap;0 =0ou vazio,
mas não ficará vazio pois u*f é polinômio não-nulo em geral. Logo o suporte de F(u*f) é 0.

Resposta

O suporte de F(u*f) é 0.

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