Exercício 2
(1,25 Ponto) a) Seja
um polinômio, ou seja,
com
, e
. Mostre que
é um polinômio.
(1,25 Ponto) b) Seja
a distribuição temperada dada pela função 1. Calcule
e
, para
. A partir disto, responda: qual é o suporte de
?
(1,25 Ponto) b) Seja
Passo 1
O enunciado trata de duas coisas principais. Primeiro, dado
(polinômio) e
(distribuição de suporte compacto), mostraremos em (a) que
é também um polinômio. Em (b) consideramos a distribuição temperada
dada pela função constante
, calculamos sua transformada de Fourier e a de
, e a partir disso determinar o suporte de
. Para isso usaremos:
. A definição de convolução entre distribuição de suporte compacto e função suave.
. A expansão binomial para
.
. O fato de que
além de
.
Passo 2
Por definição de convolução
quando
e
é a função
Como
, temos
Cada termo
é uma combinação finita de potências de
, logo a soma também é polinomial.
Passo 3
De fato, pela fórmula binomial
temos
ou seja, cada
é uma constante (depende só de
e
), e o produto por
mostra que
é um polinômio de grau no máximo
.
Passo 4
Agora (b): adotando a convenção
para
, estendemos a
. Então, como função constante,
Passo 5
Para
(função polinomial, temperada) usa-se que a transformada de Fourier leva monômio em derivada de delta:
Isso segue integrando por partes
vezes ou usando definição de distribuição.
Passo 6
Finalmente, como
em
, e
é combinação finita de
e suas derivadas (todas suportadas em
), o produto tem suporte contido em
mas não ficará vazio pois
é polinômio não-nulo em geral. Logo o suporte de
é
.
Resposta
O suporte de
é
.