Prove que:
(a) Se
, então
(a) Se
Passo 1
O enunciado afirma que em um espaço com produto interno (por exemplo
com o produto escalar usual) temos duas vetores
e
tais que
para todo vetor
.
O conteúdo aqui é a unicidade do funcional linear definido pelo produto interno: se dois vetores geram o mesmo funcional em todos os vetores, eles devem ser iguais.
O conteúdo aqui é a unicidade do funcional linear definido pelo produto interno: se dois vetores geram o mesmo funcional em todos os vetores, eles devem ser iguais.
Passo 2
Defina o vetor diferença
Como
para todo
, subtraindo os dois lados obtemos
ou seja
Passo 3
Em particular, podemos escolher
. Então
Mas
, que é a soma de quadrados dos componentes de
. A única forma de um quadrado de norma ser zero é
.
Passo 4
Como
e
, segue que