Prove que:
(a) Se a cdot v=b cdot v, forall v, então a=b ;

Passo 1

O enunciado afirma que em um espaço com produto interno (por exemplo R^n com o produto escalar usual) temos duas vetores a e b tais que
acdotv=bcdotv para todo vetor v.
O conteúdo aqui é a unicidade do funcional linear definido pelo produto interno: se dois vetores geram o mesmo funcional em todos os vetores, eles devem ser iguais.

Passo 2

Defina o vetor diferença
c = a - b
Como acdotv = bcdotv para todo v, subtraindo os dois lados obtemos
l(a-br)cdotv = 0 forall v,
ou seja
ccdotv = 0 forall v

Passo 3

Em particular, podemos escolher v = c. Então
ccdotc = 0
Mas ccdotc = |c|^2, que é a soma de quadrados dos componentes de c. A única forma de um quadrado de norma ser zero é c = 0.

Passo 4

Como c = a - b e c = 0, segue que
a - b = 0Longrightarrow a = b

Resposta

a = b.

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