Exercício 1

(1 ponto) a) Calcule a Transformada de Fourier das distribuições de<a0 in S^prime(R^n), H(x) e^-epsilon x in S^prime(R) para epsilon>0 e H(x) in S^prime(R). ( H(x) é a função de Heaviside: H(x)=1 para x >= 0 e H(x)=0 para x<0 ).
(1 ponto) b) Mostre que a distribuição em D^prime(R^2) dada pela função H(x) H(y) é uma solução fundamental de partialpartial x partial y. (Dica: Prove diretamente ou usando Transformada de Fourier.)
(0,5 ponto) c) O operador partialpartial x partial y é hipoelíptico? Justifique. (Dica: Qual é o suporte singular de H(x) H(y) ?)

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Calcular as transformadas de Fourier, em sentido de distribuições, de de<a0inS'(R^n), de H(x)e^-epsilon xinS'(R) (para epsilon>0) e de H(x)inS'(R). Aqui usamos a convenção
F[T](xi)=lang<= T(x),e^-i,xcdotxirang<=
  • (b) Mostrar que a distribuição T(x,y)=H(x),H(y)inD'(R^2) satisfaz
partial^2partial x,partial y,T(x,y)=de<a(x,y),
isto é, é uma solução fundamental de partialxpartialy.
  • (c) Verificar se partialxpartialy é hipoelíptico, examinando o suporte singular de H(x)H(y).

Passo 2

Calcular F[de<a0].
Pela definição de delta e da transformada, para todo xiinR^n vale
F[de<a0](xi) =lang<= de<a0(x),e^-i,xcdotxirang<= =e^-i,0cdotxi =1

Passo 3

Calcular F[H(x),e^-epsilon x] para epsilon>0.
Como H(x)e^-epsilon x é função localmente integrável que cresce moderadamente,
F[H e^-epsiloncdot](k) =integral-infty^inftyH(x)e^-epsilon xe^-i k x,dx =integral0^inftye^-(epsilon+i k)x,dx =1epsilon+i k

Passo 4

Obter F[H(x)] passando ao limite epsilonto0^+.
Na topologia de distribuições temos
limepsilonto0^+1epsilon+ixi =PV!l(1ixir)+pide<a(xi),
portanto
F[H](xi) =PV!l(1ixir)+pi,de<a(xi)

Passo 5

Mostrar que T(x,y)=H(x),H(y) é solução fundamental de partialxpartialy.
Usamos derivação de distribuições:
partialxH(x)=de<a(x) e partialyH(y)=de<a(y). Logo
partial^2partial x,partial yH(x)H(y) =partialpartial xl(de<a(x),H(y)r) =de<a(x),de<a(y) =de<a(x,y)
Isto mostra que T satisfaz partialxpartialy,T=de<a0.

Passo 6

Verificar se partialxpartialy é hipoelíptico.
Um operador é hipoelíptico se toda solução fundamental é suave fora da origem. Aqui o fundamental H(x)H(y) é descontínuo ao longo das retas x=0 e y=0 (suporte singular alargado), não apenas no ponto (0,0). Portanto partialxpartialy não é hipoelíptico.

Resposta

a) F[de<a0]=1, F[,H(x)e^-epsilon x,](k)=1epsilon+i k, F[H(x)](xi)=PV!l(1ixir)+pi,de<a(xi)
b) partial^2partial x,partial yl(H(x)H(y)r)=de<a(x,y), de modo que H(x)H(y) é solução fundamental de partialxpartialy.
c) partialxpartialy não é hipoelíptico, pois seu fundamental H(x)H(y) tem suporte singular nas retas x=0 e y=0, e não apenas no ponto (0,0).

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