Exercício 1
(1 ponto) a) Calcule a Transformada de Fourier das distribuições
para
e
. (
é a função de Heaviside:
para
e
para
).
(1 ponto) b) Mostre que a distribuição em
dada pela função
é uma solução fundamental de
. (Dica: Prove diretamente ou usando Transformada de Fourier.)
ponto) c) O operador
é hipoelíptico? Justifique. (Dica: Qual é o suporte singular de
?)
(1 ponto) b) Mostre que a distribuição em
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Calcular as transformadas de Fourier, em sentido de distribuições, de
, de (para ) e de . Aqui usamos a convenção
- (b) Mostrar que a distribuição
satisfaz
isto é, é uma solução fundamental de
.
- (c) Verificar se
é hipoelíptico, examinando o suporte singular de .
Passo 2
Calcular
.
Pela definição de delta e da transformada, para todo vale
Pela definição de delta e da transformada, para todo
Passo 3
Calcular
para
.
Como é função localmente integrável que cresce moderadamente,
Como
Passo 4
Obter
passando ao limite
.
Na topologia de distribuições temos
Na topologia de distribuições temos
portanto
Passo 5
Mostrar que
é solução fundamental de
.
Usamos derivação de distribuições:
e
. Logo
Usamos derivação de distribuições:
Isto mostra que
satisfaz
.
Passo 6
Verificar se
é hipoelíptico.
Um operador é hipoelíptico se toda solução fundamental é suave fora da origem. Aqui o fundamental é descontínuo ao longo das retas
e
(suporte singular alargado), não apenas no ponto
. Portanto
não é hipoelíptico.
Um operador é hipoelíptico se toda solução fundamental é suave fora da origem. Aqui o fundamental
Resposta
a)
b) de modo que
é solução fundamental de
.
c) não é hipoelíptico, pois seu fundamental
tem suporte singular nas retas
e
, e não apenas no ponto
.
b)
c)