Prove que:
(b) Se a times v=b times v, forall v, então a=b

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se para todo vetor vec v em R^3 temos
vec atimesvec v ;=;vec btimesvec v,
então necessariamente vec a=vec b.
O conteúdo aqui é álgebra vetorial, mais precisamente propriedades do produto vetorial em R^3. Vamos usar linearidade do produto vetorial e um argumento por contradição.

Passo 2

Subtraindo as duas expressões e usando linearidade do produto vetorial, obtemos
(vec a-vec b)timesvec v ;=;vec0 para todo vec vinR^3

Passo 3

Definimos vec c=vec a-vec b. O que temos agora é
vec ctimesvec v=vec0 forall,vec v
Suponha, por contradição, que vec cneqvec0. Então existe uma direção ortonormal hat e tal que hat e é perpendicular a vec c? Não: como dimR^3=3, dado qualquer vetor não-nulo vec c podemos escolher um vetor vec v que não seja colinear a vec c. Em particular, tomemos vec v perpendicular a vec c. Para esses vetores, o produto vetorial satisfaz
|vec ctimesvec v| = |vec c|,|vec v|sin 90^circ = |vec c||vec v| >0,
pois vec cneqvec0 e vec vneqvec0. Logo vec ctimesvec vneqvec0, o que contradiz a igualdade vec ctimesvec v=vec0.

Passo 4

A contradição mostra que nossa suposição vec cneqvec0 é falsa. Logo só pode ser vec c=vec0. Isso significa
vec a-vec b=vec0 Longrightarrow vec a=vec b

Resposta

vec a=vec b.

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