Prove que:
(b) Se
, então
(b) Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se para todo vetor
em
temos
então necessariamente
.
O conteúdo aqui é álgebra vetorial, mais precisamente propriedades do produto vetorial em . Vamos usar linearidade do produto vetorial e um argumento por contradição.
O conteúdo aqui é álgebra vetorial, mais precisamente propriedades do produto vetorial em
Passo 2
Subtraindo as duas expressões e usando linearidade do produto vetorial, obtemos
Passo 3
Definimos
. O que temos agora é
Suponha, por contradição, que
. Então existe uma direção ortonormal
tal que
é perpendicular a
? Não: como
, dado qualquer vetor não-nulo
podemos escolher um vetor
que não seja colinear a
. Em particular, tomemos
perpendicular a
. Para esses vetores, o produto vetorial satisfaz
pois
e
. Logo
, o que contradiz a igualdade
.
Passo 4
A contradição mostra que nossa suposição
é falsa. Logo só pode ser
. Isso significa