Exercício 3
(1,25 ponto) a) Sejam
e
. Determine as constantes
para as quais a seguinte identidade é válida:
. Use a fórmula obtida para escrever
como soma de derivadas de deltas de Dirac.
(1,25 ponto) b) Ache todas as soluções da equação
.
(1,25 ponto) b) Ache todas as soluções da equação
Passo 1
O enunciado pede duas coisas em teoria de distribuições:
Para uma função suave
e um inteiro
, expressar
como combinação linear das derivadas
,
.
Usar esse resultado para escrever
como soma de deriva-das de
.
Em seguida, achar todas as soluções em distribuições da equação
Em seguida, achar todas as soluções
Vamos usar a definição de multiplicação de uma distribuição
por função suave
:
e a ação de
em
:
Passo 2
Cálculo de
. Para toda função de teste
,
Pela regra de Leibniz,
Logo
Identificando termos, obtemos a identidade em distribuições:
Passo 3
Caso especial
Na fórmula acima só contribui o termo . Logo, para
,
e para
o resultado é zero.
Passo 4
Solução de
Multiplicando por
e usando o caso
do passo anterior,
Logo
Comparando coeficientes na base e
para todo
, enquanto
são livres.
Resposta
a) Para todo
Em particular,
b) As soluções de arbitrários.