Exercício 3

(1,25 ponto) a) Sejam f in C^infty(R) e k in N0. Determine as constantes ck j in C para as quais a seguinte identidade é válida: f d^kd x^k de<a0=sumj=0^k ck j d^jd x^j de<a0. Use a fórmula obtida para escrever x^m d^kd x^k de<a0 como soma de derivadas de deltas de Dirac.
(1,25 ponto) b) Ache todas as soluções da equação x^2 u=de<a0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas em teoria de distribuições:
1 Para uma função suave fin C^infty(R) e um inteiro k>=0, expressar
f,d^kdx^kde<a0
como combinação linear das derivadas d^jdx^jde<a0, 0<= j<= k.
2 Usar esse resultado para escrever x^m ,d^kdx^kde<a0 como soma de deriva-das de de<a0.
Em seguida, achar todas as soluções u em distribuições da equação
x^2,u ;=;de<a0
Vamos usar a definição de multiplicação de uma distribuição T por função suave f:
llang<= f,T,;varphirrang<= =llang<= T,;f,varphirrang<=,
e a ação de de<a0^(k) em varphi:
llang<= de<a0^(k),varphirrang<= =(-1)^k,varphi^(k)(0)

Passo 2

Cálculo de f,de<a0^(k). Para toda função de teste varphi,
llang<= f,de<a0^(k),varphirrang<= =llang<= de<a0^(k),,f,varphirrang<= =(-1)^k,(f,varphi)^(k)(0)
Pela regra de Leibniz,
(f,varphi)^(k)(0) =sumj=0^kbinomkjf^(j)(0),varphi^(k-j)(0)
Logo
llang<= f,de<a0^(k),varphirrang<= =sumj=0^k(-1)^kbinomkjf^(j)(0),varphi^(k-j)(0) =sumj=0^k(-1)^jbinomkjf^(j)(0),llang<=de<a0^(k-j),varphirrang<=
Identificando termos, obtemos a identidade em distribuições:
f,de<a0^(k) =sumj=0^kckj,de<a0^(j), onde ckj=(-1)^,k-jbinomkj,f^(,k-j)(0)

Passo 3

Caso especial
Na fórmula acima só contribui o termo . Logo, para ,
e para o resultado é zero.

Passo 4

Solução de
Multiplicando por e usando o caso do passo anterior,
Logo
Comparando coeficientes na base e para todo , enquanto são livres.

Resposta

a) Para todo
Em particular,
b) As soluções de arbitrários.

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