Exercício 4
Seja (uk)k in N0 subset D^prime(] 0,2[) uma sequência de distribuições dadas por
uk=sumj=1^k d^jd x^j de<a1j
em que de<a1j(phi):=phi(1j), para todo phi in Cc^infty(] 0,2[).
(1,25 ponto) a) Mostre que existe u in D^prime(] 0,2[) tal que u=lim k infty uk em D^prime(] 0,2[). Determine a ordem de u.
(1,25 ponto) b) Existe uma distribuição v in D^prime(R) tal que v|] 0,2[ =u ?

Passo 1

O enunciado define, para cada kinN,
uk=sumj=1^kd^jdx^jde<a1j em D'(]0,2[),
onde de<a1/j(phi)=phi(1/j) para phiin Cc^infty(]0,2[).
Precisamos mostrar que existe
u=limktoinftyuk
em D'(]0,2[), determinar a ordem de u e, em (b), verificar se u admite extensão a uma distribuição v em R que coincida com u em ]0,2[.

Passo 2

Seja e seja
para algum . Então, se temos , logo , e assim apenas índices contribuem em
Para todo a soma estaciona, ou seja independe de . Portanto a sequência converge e podemos definir
o que prova a existência ponto a ponto em cada .

Passo 3

Linearidade de é imediata. Para a continuidade em : se em então em particular existe um mesmo compacto contendo os e todas as derivadas de tendem uniformemente a zero em . Como
com , segue . Logo .

Passo 4

Fixado um compacto Ksubset(0,2), só há termos até j=NK, logo
l|u(phi)r| <=sumj=1^NKl|phi^(j)(1/j)r| <= CKsumj=0^NKsupxin Kl|phi^(j)(x)r|,
mostrando que em K a ordem de u é NK. No entanto, como NKtoinfty quando K se aproxima de 0, não existe um único inteiro m que sirva para todos os compactos. Portanto u é de ordem infinita globalmente em (0,2).

Passo 5

Suponha que exista vinD'(R) estendendo u. Tome psiin Cc^infty(R) com suporte em [-de<a,de<a]. Então, restringindo ao intervalo (0,2), teríamos
v(psi) = ul(psil|]0,2[r) =sumj=1^infty(-1)^j,psi^(j)l(1/jr)
Porém psi tem suporte englobando infinitamente muitos pontos 1/jto0, e para uma função teste genérica essa série não converge (as derivadas psi^(j)!(1/j) não decaem rápido o bastante). Logo v(psi) não está bem definido em geral, impedindo a existência de tal extensão.

Resposta

(a) Definindo para todo phiin Cc^infty(]0,2[)
u(phi) =sumj=1^infty(-1)^j,phi^(j)l(1/jr),
temos ukto u em D'(]0,2[). A ordem de u é infinita globalmente (não há inteiro único que funcione para todos os compactos).
(b) Não existe vinD'(R) tal que v|]0,2[=u.

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