Exercício 4
Seja uma sequência de distribuições dadas por
em que , para todo .
(1,25 ponto) a) Mostre que existe tal que em . Determine a ordem de . ponto) b) Existe uma distribuição tal que ?
Passo 1
O enunciado define, para cada ,
onde para .
Precisamos mostrar que existe
em , determinar a ordem de e, em (b), verificar se admite extensão a uma distribuição em que coincida com em .
Passo 2
Seja e seja
para algum . Então, se temos , logo , e assim apenas índices contribuem em
Para todo a soma estaciona, ou seja independe de . Portanto a sequência converge e podemos definir
o que prova a existência ponto a ponto em cada .
Passo 3
Linearidade de é imediata. Para a continuidade em : se em então em particular existe um mesmo compacto contendo os e todas as derivadas de tendem uniformemente a zero em . Como
com , segue . Logo .
Passo 4
Fixado um compacto , só há termos até , logo
mostrando que em K a ordem de u é NK. No entanto, como NKtoinfty quando K se aproxima de 0, não existe um único inteiro m que sirva para todos os compactos. Portanto u é de ordem infinita globalmente em (0,2).
Passo 5
Suponha que exista vinD'(R) estendendo u. Tome psiin Cc^infty(R) com suporte em [-de<a,de<a]. Então, restringindo ao intervalo (0,2), teríamos
Porém psi tem suporte englobando infinitamente muitos pontos 1/jto0, e para uma função teste genérica essa série não converge (as derivadas psi^(j)!(1/j) não decaem rápido o bastante). Logo v(psi) não está bem definido em geral, impedindo a existência de tal extensão.
Resposta
(a) Definindo para todo phiin Cc^infty(]0,2[)
u(phi) =sumj=1^infty(-1)^j,phi^(j)l(1/jr),
temos ukto u em D'(]0,2[). A ordem de u é infinita globalmente (não há inteiro único que funcione para todos os compactos).
(b) Não existe vinD'(R) tal que v|]0,2[=u.