Exercício 1 [ 25 pontos]: Use o teorema de Green para calcular a integral de linha
, onde
é fronteira da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Neste exercício a gente vai usar o Teorema de Green para passar a integral de linha
para uma integral dupla sobre a região
limitada pelos círculos
e
.
Passo 2
O Teorema de Green diz que, para um campo
e uma curva fechada
orientada positivamente, vale
Aqui identificamos
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Logo, o integrando é
Passo 5
Transformamos a integral dupla para coordenadas polares, onde
Nesse caso o integrando em função de
e multiplicando pelo jacobiano
obtemos
Passo 6
Assim
Passo 7
Observamos que
enquanto
Passo 8
Portanto a integral dupla reduz a