Exercício 1 [ 25 pontos]: Use o teorema de Green para calcular a integral de linha integralC(2 x-y^3) d x-x y d y, onde C é fronteira da região limitada pelas curvas x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Neste exercício a gente vai usar o Teorema de Green para passar a integral de linha ointC (2x - y^3),dx - xy,dy para uma integral dupla sobre a região D limitada pelos círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9.

Passo 2

O Teorema de Green diz que, para um campo F=(P,Q) e uma curva fechada C orientada positivamente, vale
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
Aqui identificamos
P(x,y) = 2x - y^3, Q(x,y) = -xy

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial(-xy)partial x = -y,
partial Ppartial y = partial(2x - y^3)partial y = -3y^2

Passo 4

Logo, o integrando é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -y + 3y^2

Passo 5

Transformamos a integral dupla para coordenadas polares, onde
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta
Nesse caso o integrando em função de (r,theta) fica
-y + 3y^2 = -rsintheta + 3r^2sin^2theta,
e multiplicando pelo jacobiano r obtemos
-r^2sintheta + 3r^3sin^2theta

Passo 6

Assim
integral duplaD (-y+3y^2),dA = integral0^2piintegral2^3 l(-r^2sintheta + 3r^3sin^2thetar) dr,dtheta

Passo 7

Observamos que
integral0^2pi -r^2sintheta,dtheta = 0,
enquanto
integral0^2pi3r^3sin^2theta,dtheta = 3r^3integral0^2pisin^2theta,dtheta = 3r^3pi

Passo 8

Portanto a integral dupla reduz a
integral2^33pi r^3,dr = 3pi l[r^44r]2^3 = 3pi654 = 195pi4

Resposta

195pi4

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