Seja (an)n in N uma sequência de números reais positivos. A raiz de ak é menor que r para todo k suficientemente grande. Use o teste da comparação para mostrar que, se L=lim n +infty raiz[n]an<1, então a série sumn=1^+infty an é convergente.
sumn=1^+infty n!2^nn^n

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o teste da comparação (ou teste da raiz), que se L=limnto+inftyraiz[n]an<1 então a série sum an converge, e em seguida aplicar isso à série sumn=1^+inftyn!,2^nn^n Vamos usar o teste da raiz.

Passo 2

O teste da raiz diz que, se L=limsupntoinftyraiz[n]an<1, então existe r tal que L e, para todo n suficientemente grande, raiz[n]an. Daí an e como sum r^n converge (série geométrica), concluímos que sum an converge.

Passo 3

Definimos an=dfracn!,2^nn^n Vamos calcular raiz[n]an: Preparamos a expressão em bloco para ficar claro:
raiz[n]an=raiz[n]n!,2^nn^n=raiz[n]n!;raiz[n]2^nraiz[n]n^n=raiz[n]n!;2n

Passo 4

Para encontrar o limite de raiz[n]n! usamos a fórmula de Stirling, que dá n!simraiz2pi n,(n/e)^n. Tomando raiz enésima:
raiz[n]n!simraiz[n]raiz2pi n;netone(ntoinfty)

Passo 5

Logo, ao dividir por n e multiplicar por 2:
limntoinftyraiz[n]an=limntoinftyraiz[n]n!;2n=2e
Como tfrac2eapprox0,736<1, pelo teste da raiz a série sumn=1^+inftyn!2^nn^n converge.

Resposta

A série converge, pois limntoinftyraiz[n]tfracn!2^nn^n=2/e<1.

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