Seja
uma sequência de números reais positivos. A raiz de
é menor que
para todo
suficientemente grande. Use o teste da comparação para mostrar que, se
, então a série
é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando o teste da comparação (ou teste da raiz), que se
então a série
converge, e em seguida aplicar isso à série
Vamos usar o teste da raiz.
Passo 2
O teste da raiz diz que, se
, então existe
tal que
e, para todo
suficientemente grande,
. Daí
e como
converge (série geométrica), concluímos que
converge.
Passo 3
Definimos
Vamos calcular
: Preparamos a expressão em bloco para ficar claro:
Passo 4
Para encontrar o limite de
usamos a fórmula de Stirling, que dá
. Tomando raiz enésima:
Passo 5
Logo, ao dividir por
e multiplicar por 2:
Como
, pelo teste da raiz a série
converge.
Resposta
A série converge, pois
.