Exercício 6.25 Sob que condições impostas ao escalar alpha in R os vetores (0,1, alpha),(alpha, 0,1) e (1+alpha, 1, alpha) formam uma base de R^3 ?

Passo 1

O enunciado pergunta por quais valores do escalar alphainR os vetores
,(0,1,alpha), (alpha,0,1) e (1+alpha,1,alpha) formam uma base de R^3.
Conteúdo: teste de independência linear via determinante. Para vetores em R^3, eles formam base se, ao colocá-los como linhas (ou colunas) de uma matriz 3times3, o determinante for não nulo.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas linhas são os vetores dados:
A = 0 & 1 & alpha alpha & 0 & 1 1+alpha & 1 & alpha
Precisamos de det(A)neq 0.

Passo 3

Calculamos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) = 0cdotdet!0 & 11 & alpha -1cdotdet!alpha & 11+alpha & alpha +alphacdotdet!alpha & 01+alpha & 1
Cada menor vale
det!alpha & 11+alpha & alpha =alpha^2-(1+alpha), det!alpha & 01+alpha & 1 =alphacdot1-0,(1+alpha)=alpha
Substituindo:
det(A) = -l(alpha^2-(1+alpha)r)+alphacdotalpha = -alpha^2+1+alpha+alpha^2 =1+alpha

Passo 4

Para que os vetores sejam independentes (e hence formem base), exigimos
det(A)neq0 Longrightarrow 1+alphaneq0 Longrightarrow alphaneq -1

Resposta

Os vetores formam uma base de R^3 se, e somente se,
alpha neq -1

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