Exercício 6.26 Determine uma base para cada um dos espaços abaixo:
V=p in R[t]3: p(-1)=0 e p(1)=0.

Passo 1

O enunciado define o espaço
V = ,pinR[t]3 : p(-1)=0 e p(1)=0
ou seja, é um subespaço de polinômios de grau ≤3 que se anulam em t=-1 e t=1. Vamos usar o formato geral de um polinômio de grau ≤3 e impor essas duas condições.

Passo 2

Escrevendo
p(t)=a t^3 + b t^2 + c t + d,
as condições são
p(1)=a+b+c+d=0,
p(-1)=-a+b - c + d=0

Passo 3

Somando as duas equações obtemos
(a+b+c+d)+(-a+b-c+d)=2b+2d=0 Longrightarrow b+d=0
Subtraindo a segunda da primeira dá
(a+b+c+d)-(-a+b-c+d)=2a+2c=0 Longrightarrow a+c=0
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c=-a, d=-b

Passo 4

Substituindo em p(t) resulta
p(t)=a t^3 + b t^2 - a t - b = a,(t^3-t) + b,(t^2-1)
Isso mostra que todo pin V é combinação linear de ,t^3-t e t^2-1.

Passo 5

Os polinômios ,t^3-t e ,t^2-1 são linearmente independentes (têm graus distintos), e geram V. Portanto formam uma base de V.

Resposta

Uma base de V é
,t^3 - t,;t^2 - 1

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