(2,5)
a) (1,5) Mostre que U=A in Mn(R): A^t=A é um subespaço de Mn(R).
b) (1,0) Descreva uma base para U no caso em que n=3 e calcule sua dimensão.

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com o espaço vetorial Mn(R) (matrizes reais ntimes n) e, em (a), mostrar que
U = AinMn(R) : A^t=A
é um subespaço. Isso envolve usar a definição de subespaço: conter a matriz zero, fechar em soma e em multiplicação por escalar. Em (b) queremos, no caso n=3, descrever uma base de U e calcular sua dimensão.

Passo 2

Mostramos que a matriz zero 0 está em U. De fato, (0)^t=0, logo 0inU. Isso garante que U não é vazio.

Passo 3

Fechamento em soma: sejam A,BinU. Então A^t=A e B^t=B. Assim
(A+B)^t = A^t + B^t = A + B,
portanto A+BinU.

Passo 4

Fechamento em multiplicação por escalar: seja AinU e lambdainR. Então
(lambda A)^t = lambda ,A^t = lambda A,
logo lambda AinU. Concluímos que U é subespaço de Mn(R).

Passo 5

Para n=3, toda matriz simétrica tem a forma
a & b & c b & d & e c & e & f ,
com a,b,c,d,e,finR. Uma base natural é dada por colocar um único coeficiente igual a 1 e os outros zero, respeitando a simetria. Assim escolhemos:
E11,;E22,;E33,; E12+E21,; E13+E31,; E23+E32,
onde Eij é a matriz com 1 na posição (i,j) e zero nas demais entradas.

Passo 6

Como listamos 6 matrizes independentes gerando U em n=3, a dimensão de U é
dim(U) = 6

Resposta

(a) U é subespaço pois contém 0, e fecha em soma e multiplicação por escalar.
(b) Uma base para U em n=3 é
E11,;E22,;E33,; E12+E21,; E13+E31,; E23+E32,
e dim(U)=6.

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