a) Mostre que é um subespaço de .
b) Descreva uma base para no caso em que e calcule sua dimensão.
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com o espaço vetorial (matrizes reais ) e, em (a), mostrar que
é um subespaço. Isso envolve usar a definição de subespaço: conter a matriz zero, fechar em soma e em multiplicação por escalar. Em (b) queremos, no caso , descrever uma base de e calcular sua dimensão.
Passo 2
Mostramos que a matriz zero está em . De fato, , logo . Isso garante que não é vazio.
Passo 3
Fechamento em soma: sejam . Então e . Assim
portanto .
Passo 4
Fechamento em multiplicação por escalar: seja e . Então
logo . Concluímos que é subespaço de .
Passo 5
Para , toda matriz simétrica tem a forma
com a,b,c,d,e,finR. Uma base natural é dada por colocar um único coeficiente igual a 1 e os outros zero, respeitando a simetria. Assim escolhemos:
E11,;E22,;E33,; E12+E21,; E13+E31,; E23+E32,
onde Eij é a matriz com 1 na posição (i,j) e zero nas demais entradas.
Passo 6
Como listamos 6 matrizes independentes gerando U em n=3, a dimensão de U é
dim(U) = 6
Resposta
(a) U é subespaço pois contém 0, e fecha em soma e multiplicação por escalar.
(b) Uma base para U em n=3 é