a) (1,0) Mostre que e são bases de .
b) Determine as matrizes de mudança de base de para e de para .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas em :
(a) Mostrar quesão bases. Isso envolve mostrar que cada par de vetores é linearmente independente (LI) e, como são dois vetores em , automaticamente geram todo .
(b) Encontrar as matrizes de mudança de baseonde satisfaz
Para isso vamos usar determinantes (para LI) e resolver sistemas lineares (para coordenadas).
Passo 2
Verificamos a LI formando a matriz cujas colunas são os vetores de cada conjunto e calculando o determinante.
Para :
logo (1,2) e (2,1) são LI e, por terem dimensão 2, formam base.
Para B2:
det 1 & 2 4 & 3 =1cdot3 - 2cdot4 = -5 neq 0,
logo (1,4) e (2,3) são LI e também formam base de R^2.
Passo 3
Definimos PB1to B2 como a matriz que leva coordenadas em B1 para coordenadas em B2:
[v]B2 ;=; PB1to B2,[v]B1
Para montar PB1to B2, expressamos cada vetor de B1 em coordenadas de B2. Ou seja, para b1,1=(1,2) e b1,2=(2,1) resolvemos
(1,2)=a,(1,4)+b,(2,3), (2,1)=c,(1,4)+d,(2,3)
Passo 4
Resolvendo
Resolvendo ((2,1)=c(1,4)+d(2,3)]:
Passo 5
As coordenadas l[(1,2)r]B2 = (tfrac15, tfrac25) e l[(2,1)r]B2 = (-tfrac45, tfrac75) formam as colunas de PB1 to B2. Logo,
PB1 to B2 = 15 & -45 25 & 75
Passo 6
Para PB2 to B1 podemos inverter PB1 to B2 ou expressar cada vetor de B2 em coordenadas de B1. Fazendo a inversa 2 times 2,
det PB1 to B2 = 15 cdot 75 - 25 cdot l(-tfrac45r) = 725 + 825 = 1525 = 35,