(2,5)
a) (1,0) Mostre que B1=(1,2),(2,1) e B2=(1,4),(2,3) são bases de R^2.
b) (1,5) Determine as matrizes de mudança de base de B1 para B2 e de B2 para B1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas em R^2:
  • (a) Mostrar que B1=(1,2),(2,1) e B2=(1,4),(2,3) são bases. Isso envolve mostrar que cada par de vetores é linearmente independente (LI) e, como são dois vetores em R^2, automaticamente geram todo R^2.
  • (b) Encontrar as matrizes de mudança de base PB1to B2 e PB2to B1, onde PB1to B2 satisfaz [v]B2 ;=; PB1to B2,[v]B1
Para isso vamos usar determinantes 2times 2 (para LI) e resolver sistemas lineares (para coordenadas).

Passo 2

Verificamos a LI formando a matriz cujas colunas são os vetores de cada conjunto e calculando o determinante.
Para B1:
det 1 & 2 2 & 1 =1cdot1 - 2cdot2 = -3 neq 0,
logo (1,2) e (2,1) são LI e, por terem dimensão 2, formam base.
Para B2:
det 1 & 2 4 & 3 =1cdot3 - 2cdot4 = -5 neq 0,
logo (1,4) e (2,3) são LI e também formam base de R^2.

Passo 3

Definimos PB1to B2 como a matriz que leva coordenadas em B1 para coordenadas em B2:
[v]B2 ;=; PB1to B2,[v]B1
Para montar PB1to B2, expressamos cada vetor de B1 em coordenadas de B2. Ou seja, para b1,1=(1,2) e b1,2=(2,1) resolvemos
(1,2)=a,(1,4)+b,(2,3), (2,1)=c,(1,4)+d,(2,3)

Passo 4

Resolvendo
Resolvendo ((2,1)=c(1,4)+d(2,3)]:

Passo 5

As coordenadas l[(1,2)r]B2 = (tfrac15, tfrac25) e l[(2,1)r]B2 = (-tfrac45, tfrac75) formam as colunas de PB1 to B2. Logo,
PB1 to B2 = 15 & -45 25 & 75

Passo 6

Para PB2 to B1 podemos inverter PB1 to B2 ou expressar cada vetor de B2 em coordenadas de B1. Fazendo a inversa 2 times 2,
det PB1 to B2 = 15 cdot 75 - 25 cdot l(-tfrac45r) = 725 + 825 = 1525 = 35,
PB2 to B1 = l(PB1 to B2r)^-1 = 1tfrac35 75 & 45 -25 & 15 = 73 & 43 -23 & 13

Resposta

PB1 to B2 = 15 & -45 25 & 75 ,
\quad
PB2 to B1 = 73 & 43 -23 & 13

Exercícios relacionados