Exercício 28. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão envolve a raiz quadrada
. - O ponto de interesse é
. - A função está definida para
, então é válida numa vizinhança de (exceto possivelmente em se houver indeterminação). - O objetivo é encontrar o valor do limite quando
se aproxima de (pela direita e pela esquerda).
Passo 2
Entender o tipo de indeterminação. Se substituirmos
diretamente na expressão, temos:
que é uma forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite pela substituição direta e precisamos manipular a expressão algébrica para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Estratégia escolhida: racionalizar o numerador (método algébrico clássico). A ideia é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é
. Isso não altera o valor da expressão para
, mas permite simplificar. Começamos com
Passo 4
Calcular o produto no numerador usando a identidade de diferença de quadrados
. Aqui
e
. Então
Substituindo no quociente obtemos, para
,
Passo 5
Cancelar o fator
no numerador e no denominador. É importante notar a justificativa: a igualdade acima vale para
, então podemos dividir por
sem problema. Após o cancelamento obtemos a expressão simplificada, válida para
:
Passo 6
Agora que a função foi simplificada para uma forma que é contínua em
(a raiz em
é contínua em
e o denominador
não zera em
), podemos calcular o limite substituindo
diretamente:
Passo 7
Comentário didático extra (para fixar a ideia): esse tipo de limite frequentemente aparece e a técnica da racionalização é uma ferramenta básica que elimina a indeterminação
quando há raízes. Outra forma de ver o mesmo resultado, se já estiver estudando derivadas, é reconhecer que
é a definição do derivado de
em
, ou seja
. Como
, tem-se
, que coincide com o resultado obtido pela racionalização.