Exercício 28. Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão envolve a raiz quadrada \sqrt{x+1}.
  • O ponto de interesse é x=0.
  • A função está definida para x>-1, então é válida numa vizinhança de x=0 (exceto possivelmente em x=0 se houver indeterminação).
  • O objetivo é encontrar o valor do limite quando x se aproxima de 0 (pela direita e pela esquerda).

Passo 2

Entender o tipo de indeterminação. Se substituirmos x=0 diretamente na expressão, temos:
\frac{\sqrt{0+1}-1}{0}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0},
que é uma forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite pela substituição direta e precisamos manipular a expressão algébrica para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Estratégia escolhida: racionalizar o numerador (método algébrico clássico). A ideia é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é \sqrt{x+1}+1. Isso não altera o valor da expressão para x\neq0, mas permite simplificar. Começamos com
\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)}.

Passo 4

Calcular o produto no numerador usando a identidade de diferença de quadrados (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Aqui a=\sqrt{x+1} e b=1. Então
(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)=(\sqrt{x+1})^2-1^2=(x+1)-1=x.
Substituindo no quociente obtemos, para x\neq0,
\frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}.

Passo 5

Cancelar o fator x no numerador e no denominador. É importante notar a justificativa: a igualdade acima vale para x\neq0, então podemos dividir por x sem problema. Após o cancelamento obtemos a expressão simplificada, válida para x\neq0:
\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}.

Passo 6

Agora que a função foi simplificada para uma forma que é contínua em x=0 (a raiz em \sqrt{x+1} é contínua em x=0 e o denominador \sqrt{x+1}+1 não zera em x=0), podemos calcular o limite substituindo x\to 0 diretamente:
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{\sqrt{0+1}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Comentário didático extra (para fixar a ideia): esse tipo de limite frequentemente aparece e a técnica da racionalização é uma ferramenta básica que elimina a indeterminação \tfrac{0}{0} quando há raízes. Outra forma de ver o mesmo resultado, se já estiver estudando derivadas, é reconhecer que
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}
é a definição do derivado de f(t)=\sqrt{t} em t=1, ou seja f'(1). Como f'(t)=\tfrac{1}{2\sqrt{t}}, tem-se f'(1)=\tfrac{1}{2}, que coincide com o resultado obtido pela racionalização.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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