Exercício 2.29. Seja
uma região fechada e limitada de
, cuja fronteira é a união de duas superfícies
e
, orientadas com vetor normal exterior a
. Cacule o fluxo de
através de
, onde
, sabendo que
é uma porção do plano
com 5 unidades de área e que
possui 30 unidades de volume.
Passo 1
O enunciado dá uma região fechada
de volume
, cuja fronteira
está orientada pelo vetor normal exterior. A função campo é
.
Pede-se o fluxo de através de
. Vamos usar o Teorema da Divergência e depois subtrair o fluxo em
.
Pede-se o fluxo de
Passo 2
Segundo o Teorema da Divergência,
Calculamos a divergência:
Passo 3
Logo
Passo 4
Como
com orientações concordantes,
Para
, a porção do plano
tem vetor normal (não unitário)
apontando para fora de
. Logo, em qualquer ponto de
,
Isto implica
.
Passo 5
Substituindo na soma dos fluxos, obtemos
Resposta
O fluxo de
através de
é
.