Exercício 2.29. Seja W uma região fechada e limitada de \mathbb{R}^{3}, cuja fronteira é a união de duas superfícies S_{1} e S_{2}, orientadas com vetor normal exterior a W. Cacule o fluxo de \vec{F} através de S_{2}, onde \vec{F}(x, y, z)= \left(e^{y^{2}+z^{2}}, y,-2 y\right), sabendo que S_{1} é uma porção do plano 2 y+z=1 com 5 unidades de área e que W possui 30 unidades de volume.

Passo 1

O enunciado dá uma região fechada W\subset\mathbb{R}^3 de volume 30, cuja fronteira \partial W=S_1\cup S_2 está orientada pelo vetor normal exterior. A função campo é
\displaystyle \vec F(x,y,z)=\bigl(e^{y^2+z^2},\,y,\,-2y\bigr).
Pede-se o fluxo de \vec F através de S_2. Vamos usar o Teorema da Divergência e depois subtrair o fluxo em S_1.

Passo 2

Segundo o Teorema da Divergência,
\iint_{\partial W}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{W}\nabla\cdot\vec F\,dV.
Calculamos a divergência:
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y^2+z^2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}(y) +\frac{\partial}{\partial z}(-2y) =0+1+0=1.

Passo 3

Logo
\iint_{\partial W}\vec F\cdot\vec n\,dS =\iiint_{W}1\,dV =\text{Vol}(W)=30.

Passo 4

Como \partial W=S_1\cup S_2 com orientações concordantes,
\iint_{S_1}\vec F\cdot\vec n\,dS +\iint_{S_2}\vec F\cdot\vec n\,dS =30.
Para S_1, a porção do plano 2y+z=1 tem vetor normal (não unitário)
\vec N=(0,2,1) apontando para fora de W. Logo, em qualquer ponto de S_1,
\vec F\cdot\vec N =(e^{y^2+z^2},\,y,\,-2y)\cdot(0,2,1) =2y-2y=0.
Isto implica
\displaystyle \iint_{S_1}\vec F\cdot\vec n\,dS=0.

Passo 5

Substituindo na soma dos fluxos, obtemos
0+\iint_{S_2}\vec F\cdot\vec n\,dS=30 \quad\Longrightarrow\quad \iint_{S_2}\vec F\cdot\vec n\,dS=30.

Resposta

O fluxo de \vec F através de S_2 é 30.

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