Exercício 26. Considere as equações
para funções
e
de classe
. Se
mostre que estas equações definem localmente
como função de
. Além disso,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as equações
e
definem localmente
como função de
, usando que
e
. O conteúdo é o Teorema da Função Implícita e a ideia é primeiro resolver
para
em termos de
, obtendo
, e depois usar essa
em
para resolver
em termos de
. Para encontrar
, aplicamos derivação implícita.
Passo 2
Aplicando o Teorema da Função Implícita em
com
, existe uma função
tal que
Diferenciando em relação a
obtemos
Passo 3
Como
, isolamos
Passo 4
Agora definimos
e como
garantimos por IFT que existe
como função de
. Diferenciando implicitamente
em relação a
dá
avaliado em
.
Passo 5
Substituindo
na equação anterior resulta
Isolando
obtemos