Exercício 26. Considere as equações
f(x, y, z)=0 e phi(x, y)=0
para funções f e phi de classe C^1. Se
partial phipartial y neq 0 e partial fpartial z neq 0
mostre que estas equações definem localmente z como função de x. Além disso,
d zd x=phix fy-phiy fxphiy fz

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as equações ,f(x,y,z)=0 e phi(x,y)=0 definem localmente z como função de x, usando que partialphi/partial yneq0 e partial f/partial zneq0. O conteúdo é o Teorema da Função Implícita e a ideia é primeiro resolver phi(x,y)=0 para y em termos de x, obtendo y=g(x), e depois usar essa g em f(x,y,z)=0 para resolver z em termos de x. Para encontrar dz/ dx, aplicamos derivação implícita.

Passo 2

Aplicando o Teorema da Função Implícita em phi(x,y)=0 com phiyneq0, existe uma função gcolon xmapsto y tal que
phil(x,g(x)r)=0
Diferenciando em relação a x obtemos
phixl(x,g(x)r) + phiyl(x,g(x)r),g'(x) = 0

Passo 3

Como phiyl(x,g(x)r)neq0, isolamos
g'(x) = -phixl(x,g(x)r)phiyl(x,g(x)r)

Passo 4

Agora definimos
Fl(x,zr) = fl(x,g(x),zr)=0,
e como fzneq0 garantimos por IFT que existe z como função de x. Diferenciando implicitamente Fl(x,z(x)r)=0 em relação a x
fx + fy,g' + fz,z' = 0
avaliado em l(x,g(x),z(x)r).

Passo 5

Substituindo g'= -phix/phiy na equação anterior resulta
fx - fy,phixphiy + fz,z' = 0
Isolando z' obtemos
z' = fy,phixphiy - fxfz = phix,fy - phiy,fxphiy,fz

Resposta

d z d x =phix,fy - phiy,fxphiy,fz

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