1. Um homem mora numa ilha a 6 km de uma praia retilínea e sua namorada mora nessa praia, 4 km distante do ponto da praia mais próximo da ilha. O homem pode remar seu barco a 3 km / h e pode andar na praia a 5 km / h. Encontre o tempo mínimo gasto pelo homem para alcançar a casa de sua namorada.

Passo 1

O enunciado trata de encontrar o modo de remar até um ponto da praia e depois andar até a casa, de forma a minimizar o tempo total. É um problema de otimização de função: modelamos o tempo gasto em função da coordenada x do ponto de desembarque e usamos derivada para encontrar o mínimo.

Passo 2

Defina x como a distância, ao longo da praia, do ponto mais próximo da ilha até o local onde ele desembarca (com 0<= x<=4). Então:
A distância remada no mar é raiz6^2+x^2=raiz36+x^2.
A distância a pé na praia é 4-x.
Como a velocidade de remo é 3:km/h e a de caminhada é 5:km/h, o tempo total é
T(x)=raiz36+x^23 ;+;4-x5

Passo 3

Para achar o mínimo, calcule a derivada:
T'(x)=x3raiz36+x^2 ;-;15
Impondo T'(x)=0 obtemos
x3raiz36+x^2=15
Elevando ao quadrado dá
25x^2=9,(36+x^2)Longrightarrow16x^2=324Longrightarrow x^2=20,25Longrightarrow x=4,5

Passo 4

Como x=4,5 está fora do intervalo permitido [0,4], o mínimo ocorre em uma das extremidades, x=0 ou x=4.

Passo 5

Calcule T(0) e T(4):
T(0)=63+45=2+0,8=2,8:h,
T(4)=raiz36+163+;0=raiz523=2raiz133approx2,403:h

Passo 6

Como T(4)<T(0), o tempo mínimo ocorre em x=4, isto é, desembarcando exatamente em frente à casa e não caminhando.

Resposta

O tempo mínimo é
Tmin=2raiz133:happrox2,40:happrox2:h;24:min

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