- Um homem mora numa ilha a 6 km de uma praia retilínea e sua namorada mora nessa praia, 4 km distante do ponto da praia mais próximo da ilha. O homem pode remar seu barco a
e pode andar na praia a
. Encontre o tempo mínimo gasto pelo homem para alcançar a casa de sua namorada.
Passo 1
O enunciado trata de encontrar o modo de remar até um ponto da praia e depois andar até a casa, de forma a minimizar o tempo total. É um problema de otimização de função: modelamos o tempo gasto em função da coordenada
do ponto de desembarque e usamos derivada para encontrar o mínimo.
Passo 2
Defina
como a distância, ao longo da praia, do ponto mais próximo da ilha até o local onde ele desembarca (com
). Então:
A distância remada no mar é .
A distância a pé na praia é .
Como a velocidade de remo é e a de caminhada é
, o tempo total é
A distância remada no mar é
A distância a pé na praia é
Como a velocidade de remo é
Passo 3
Para achar o mínimo, calcule a derivada:
Impondo
obtemos
Elevando ao quadrado dá
Passo 4
Como
está fora do intervalo permitido
, o mínimo ocorre em uma das extremidades,
ou
.
Passo 5
Calcule
e
:
Passo 6
Como
, o tempo mínimo ocorre em
, isto é, desembarcando exatamente em frente à casa e não caminhando.
Resposta
O tempo mínimo é