Exercício 6.26 Determine uma base para cada um dos espaços abaixo:
V=A in M3(R): a11=2 a22 e ai j=0 se i>j.

Passo 1

O enunciado define
V como o subespaço de M3(R) formado por matrizes superiores (isto é, aij=0 se i>j) sujeitas à condição
a11=2,a22
O objetivo é encontrar uma base de V.

Passo 2

Vamos escrever uma matriz genérica Ain V como
A = a11 & a12 & a13 [6pt] 0 & a22 & a23 [3pt] 0 & 0 & a33 ]

Passo 3

Impondo a11=2,a22, podemos parametrizar
a22=d, a12=b, a13=c, a23=e, a33=f,
de modo que
A = 2d & b & c [3pt] 0 & d & e [3pt] 0 & 0 & f ,
com b,c,d,e,finR livres. Logo dim V=5.]

Passo 4

Para tirar uma base, escolhemos um de cada vez os parâmetros iguais a 1 e os demais 0. Assim definimos as matrizes
E1=0&1&00&0&00&0&0,; E2=0&0&10&0&00&0&0,; E3=0&0&00&0&10&0&0,
E4=0&0&00&0&00&0&1,; E5=2&0&00&1&00&0&0

Resposta

O conjunto
lE1,,E2,,E3,,E4,,E5r
é uma base de V.

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