Exercício 6.26 Determine uma base para cada um dos espaços abaixo:
V=(x1, x2, x3, x4, x5) in R^5: x1=-x2=3 x3.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
V=(x1,x2,x3,x4,x5)inR^5:x1=-x2=3x3
e pede uma base para V. Trata-se de aplicar conceitos de subespaço de R^n, traduzir as igualdades em equações lineares e parametrizar.

Passo 2

A cadeia de igualdades x1=-x2=3x3 equivale a
x1=-x2, x1=3x3
Dessas obtemos
x2=-x1, x3=x13

Passo 3

Não há restrição sobre x4 e x5, então tomamos x1, x4, x5 como parâmetros livres. Um vetor genérico de V é
(x1,x2,x3,x4,x5) = l(x1,-x1,tfracx13,x4,x5r)

Passo 4

Reescrevendo em combinação linear dos parâmetros:
(x1,x2,x3,x4,x5) = x1,(1,-1,tfrac13,0,0) + x4,(0,0,0,1,0) + x5,(0,0,0,0,1)
Os vetores (1,-1,tfrac13,0,0), (0,0,0,1,0) e (0,0,0,0,1) são linearmente independentes e geram V, logo formam uma base.

Resposta

Uma base para V é
(1,-1,tfrac13,0,0),;(0,0,0,1,0),;(0,0,0,0,1)

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