Exercício 6.26 Determine uma base para cada um dos espaços abaixo:
V=p in R[t]: p(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço
V = ,p in R[t]colon p(1)=0
O conteúdo aqui é o Teorema do Resto (ou Teorema das Raízes): uma polinômio p(t) satisfaz p(1)=0 se, e só se, (t-1) for fator de p(t).

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, todo pin V pode ser escrito como
p(t) = (t-1),q(t)
para algum q(t)in R[t]. Logo existe um isomorfismo de espaços vetoriais
R[t];longrightarrow;V, q(t);mapsto;(t-1),q(t)

Passo 3

Sabemos que R[t] tem como base canônica o conjunto
1,;t,;t^2,;t^3,;dots
Aplicando o isomorfismo acima, uma base de V é
(t-1)cdot 1,;(t-1)cdot t,;(t-1)cdot t^2,;(t-1)cdot t^3,;dots

Resposta

Uma base para V é
,t-1,;t(t-1),;t^2(t-1),;t^3(t-1),;dots

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