Exercício 6.26 Determine uma base para cada um dos espaços abaixo:
V=(x, y, z, w) in R^4: x=w e x-2 y+z-w=0.

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço
V=(x,y,z,w)inR^4mid x=w,;x-2y+z-w=0
O conteúdo aqui é resolver um sistema de equações lineares, parametrizar as incógnitas livres e extrair vetores geradores independentes.

Passo 2

Use a primeira condição x=w e substitua em
x-2y+z-w=0
Como x=w, isso vira
w-2y+z-w=0Longrightarrow -2y+z=0Longrightarrow z=2y

Passo 3

Agora temos
x=w, z=2y,
e as variáveis livres são y e w. Chamando
y=t, w=s,
o vetor genérico de V é
(x,y,z,w)=(s,;t,;2t,;s) =t,(0,1,2,0)+s,(1,0,0,1)

Passo 4

Os vetores (0,1,2,0) e (1,0,0,1) geram V e são claramente linearmente independentes (só a combinação trivial os anula). Portanto formam uma base de V.

Resposta

Uma base de V é
(0,1,2,0),;(1,0,0,1)

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