Exercício 26 : Determine o conjunto imagem de h(x)=3^{x}-2.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto imagem da função
h(x)=3^{x}-2.
Aqui usaremos o fato de que, para qualquer base a>1, a função exponencial x\mapsto a^{x} tem domínio \mathbb{R} e imagem (0,\infty). Depois basta observar o efeito de subtrair 2.

Passo 2

Considerando f(x)=3^{x}, sabemos que
\lim_{x\to-\infty}3^{x}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to+\infty}3^{x}=+\infty,
logo a imagem de f é
(0,\infty).

Passo 3

Como h(x)=f(x)-2=3^{x}-2, subtrair 2 desloca toda a imagem de f duas unidades para baixo. Assim, em vez de (0,\infty) temos
(0,\infty)-2 = (-2,\infty).

Resposta

(-2,\infty)

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