Exercício 24 : (ENEM) A expressão P(t)=1000 \cdot 2^{0,05 t} modela o crescimento de uma população. Em quantos anos a população será 4.000? (Use \log 2 \approx 0,3 )

Passo 1

O enunciado dá o modelo exponencial de uma população
P(t)=1000\cdot 2^{0,05\,t}
e pede o tempo t para P(t)=4000. O conteúdo é resolução de equação exponencial e uso de logaritmos comuns.

Passo 2

Igualando ao valor pedido e isolando a potência de base 2, temos
1000\cdot 2^{0,05\,t}=4000
2^{0,05\,t}=\frac{4000}{1000}=4

Passo 3

Para resolver 2^{0,05\,t}=4 aplicamos logaritmo na base 10 em ambos os lados, usando \log 2\approx0,3:
0,05\,t\;\log(2)=\log(4)
como \log(4)=\log(2^2)=2\,\log(2)=2\cdot0,3=0,6, fica
0,05\,t\cdot0,3=0,6

Passo 4

Isolando t:
t=\frac{0,6}{0,05\cdot0,3}=\frac{0,6}{0,015}=40

Resposta

A população será de 4 000 habitantes após 40 anos.

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