Exercício 27 : (FUVEST) Resolva o sistema:
\left\{\begin{array}{l} 2^{x} \cdot 4^{y}=8 \\ 3^{x} \cdot 9^{y}=27 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações exponenciais
\begin{cases} 2^{x}\cdot 4^{y}=8,\\\\ 3^{x}\cdot 9^{y}=27. \end{cases}
O conteúdo envolve propriedades de potências de mesma base. Vamos reescrever 4^{y} e 9^{y} em termos de potências de base 2 e 3 respectivamente.

Passo 2

Reescrevemos 4^{y} como (2^{2})^{y}=2^{2y}. Substituindo em
2^{x}\cdot 4^{y}=8
ficamos com
2^{x}\cdot 2^{2y}=2^{x+2y}.
Como 8=2^{3}, obtemos
2^{x+2y}=2^{3}\quad\Longrightarrow\quad x+2y=3.

Passo 3

De modo análogo, escrevemos 9^{y} como (3^{2})^{y}=3^{2y}. Na equação
3^{x}\cdot 9^{y}=27
temos
3^{x}\cdot 3^{2y}=3^{x+2y}.
E como 27=3^{3}, segue
3^{x+2y}=3^{3}\quad\Longrightarrow\quad x+2y=3.

Passo 4

Ambas as equações do sistema se reduzem à mesma relação linear
x+2y=3.
Isso indica que o sistema admite infinitas soluções. Podemos parametrizar por y=t, com t\in\mathbb{R}, e então
x=3-2t.

Resposta

As soluções são todos os pares \bigl(x,y\bigr) tais que
x+2y=3,
ou, em forma paramétrica,
x=3-2t,\quad y=t,\quad t\in\mathbb{R}.

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