2 Seja f: R R uma função contínua. Sabendo que integral0^16 f(x) d x=16, calcule integral0^4 x f(x^2) d x.

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua f:RtoR e informa que
integral0^16 f(x),dx = 16
Pede-se calcular
integral0^4 x,fl(x^2r),dx
O conteúdo principal aqui é mudança de variável em integrais.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x^2,
então
dt = 2x,dx Longrightarrow x,dx = dt2
Os limites de integração mudam conforme x: quando x=0, t=0; quando x=4, t=16.

Passo 3

Substituindo na integral,
integral0^4 x,fl(x^2r),dx = integralt=0^t=16 f(t),dt2 = 12,integral0^16 f(t),dt

Passo 4

Usando o dado integral0^16 f(t),dt = 16, obtemos
integral0^4 x,fl(x^2r),dx = 12times 16 = 8

Resposta

8

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