Exercício 27. Um torneio é disputado por 4 times \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} e D . Sabe-se que é 3 vezes mais provável que A vença do que \mathrm{B}, 2 vezes mais provável que B vença do que C e é 3 vezes mais provável que C vença do que D . Qual a probabilidade de ganhar para cada um dos times?

Passo 1

O enunciado trata de probabilidades de vitória em um torneio com quatro times \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} e \mathrm{D}. Sabemos apenas relações de “mais provável”:
\mathrm{A} vence 3 vezes mais que \mathrm{B}.
\mathrm{B} vence 2 vezes mais que \mathrm{C}.
\mathrm{C} vence 3 vezes mais que \mathrm{D}.
Como as probabilidades devem somar 1, vamos usar proporções para determinar cada valor.

Passo 2

Denotemos por p_A, p_B, p_C e p_D as probabilidades de vitória de A, B, C e D, respectivamente. Traduzindo as relações em equações:
p_A = 3\,p_B, \quad p_B = 2\,p_C, \quad p_C = 3\,p_D.

Passo 3

Para resolver, expressamos todas as probabilidades em função de p_D. Chamemos p_D = x. Então:
p_C = 3x, \quad p_B = 2\,p_C = 2\,(3x) = 6x, \quad p_A = 3\,p_B = 3\,(6x) = 18x.

Passo 4

Impondo a soma das probabilidades igual a 1:
p_A + p_B + p_C + p_D = 18x + 6x + 3x + x = 28x = 1
Logo,
x = \frac{1}{28}.

Passo 5

Substituindo x = \tfrac{1}{28}:
p_D = \frac{1}{28}, \quad p_C = 3x = \frac{3}{28}, \quad p_B = 6x = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}, \quad p_A = 18x = \frac{18}{28} = \frac{9}{14}.

Resposta

p_A = \frac{9}{14},\quad p_B = \frac{3}{14},\quad p_C = \frac{3}{28},\quad p_D = \frac{1}{28}.

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