Exercício 1.5.26. Quantas permutações diferentes da palavra "PIRACANJUBA"têm a letra P em primeiro lugar ou a letra A em último?

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações distintas da palavra “PIRACANJUBA” que satisfazem a condição “ P em primeiro lugar ou A em último”. Aqui temos uma permutação de multiconjunto com 11 letras, sendo 3 delas iguais a A e as demais todas distintas. Para contar “ou” usamos o princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Contamos primeiro as permutações com P em primeiro lugar. Fixando P na posição 1, sobra um multiconjunto de 10 letras com ainda as 3 letras A idênticas. Logo o total é
10!3!

Passo 3

Agora contamos as permutações com A em último lugar. Colocando um A na posição 11, restam 10 letras com apenas 2 As iguais. Assim o total é
10!2!

Passo 4

Para usar inclusão-exclusão precisamos subtrair as permutações que têm simultaneamente P em primeiro e A em último. Fixando esses dois, ficam 9 posições e 2 letras A idênticas, dando
9!2!

Passo 5

Aplicando inclusão–exclusão:
#(,P em 1ª ,cup, A em 11ª) = 10!3! ;+;10!2!;-;9!2! ªª
Substituindo 10!=3628800 e 9!=362880:
10!3!=604800, 10!2!=1814400, 9!2!=181440,
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604800 + 1814400 - 181440 = 2237760

Resposta

O número de permutações distintas que satisfazem a condição é 2237760.

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