Exercício 1.5.27. De quantas maneiras podemos distribuir 12 bananas, 15 laranjas e 8 nectarinas em cinco caixas, se cada caixa deve receber ao menos uma fruta de cada?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de distribuir frutas idênticas (12 bananas, 15 laranjas e 8 nectarinas) em 5 caixas distintas, exigindo que cada caixa receba pelo menos uma de cada tipo. O conteúdo aqui é o método de “estrelas e barras” para soluções positivas de equações inteiras.

Passo 2

Para as 12 bananas, sejam bi o número de bananas na caixa i. Queremos
b1+b2+b3+b4+b5=12, bi>=1
Pelo método de estrelas e barras com participação positiva, o número de soluções é
binom12-15-1=binom114=330

Passo 3

Para as 15 laranjas, sejam elli o número de laranjas na caixa i. Temos
ell1+ell2+ell3+ell4+ell5=15, elli>=1,
cujo total de distribuições é
binom15-15-1=binom144=1001

Passo 4

Para as 8 nectarinas, sejam ni o número de nectarinas na caixa i. Então
n1+n2+n3+n4+n5=8, ni>=1,
e o número de soluções é
binom8-15-1=binom74=35

Passo 5

Como as distribuições de cada tipo de fruta são independentes, multiplicamos os resultados:
330times1001times35=11,561,550

Resposta

11,561,550 maneiras.

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