Exercício 1.5.27. De quantas maneiras podemos distribuir 12 bananas, 15 laranjas e 8 nectarinas em cinco caixas, se cada caixa deve receber ao menos uma fruta de cada?
Passo 1
O enunciado pede o número de maneiras de distribuir frutas idênticas (12 bananas, 15 laranjas e 8 nectarinas) em 5 caixas distintas, exigindo que cada caixa receba pelo menos uma de cada tipo. O conteúdo aqui é o método de “estrelas e barras” para soluções positivas de equações inteiras.
Passo 2
Para as 12 bananas, sejam
o número de bananas na caixa
. Queremos
Pelo método de estrelas e barras com participação positiva, o número de soluções é
Passo 3
Para as 15 laranjas, sejam
o número de laranjas na caixa
. Temos
cujo total de distribuições é
Passo 4
Para as 8 nectarinas, sejam
o número de nectarinas na caixa
. Então
e o número de soluções é
Passo 5
Como as distribuições de cada tipo de fruta são independentes, multiplicamos os resultados: