Exercício 26. Suponhamos que
a x^2+b y^2+c z^2+2 d x y+2 e x z+2 f y z=1
seja a equação de um elipsóide. Seja ell o maior dos semi-eixos do elipsóide. Mostre que ell é a maior raiz da equação
det[ccc a-1ell^2 & d & e d & b-1ell^2 & f e & f & c-1ell^2 ]=0
Dica: Maximize a distância de pontos do elipsóide até a origem. É mais fácil trabalhar com o quadrado da distância.

Passo 1

O enunciado nos dá o elipsóide
a x^2+b y^2+c z^2+2 d x y+2 e x z+2 f y z=1
que podemos reescrever em forma de forma quadrática como
x^TA x = 1,
onde
A = a & d & e d & b & f e & f & c
O objetivo é achar o maior semi-eixo ell, isto é, maximizar a distância dos pontos do elipsóide à origem. Como dica, vamos maximizar
r^2 = x^T x
sujeito à restrição x^T A x = 1, usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
L(x,lambda) = x^T x - lambda,(x^T A x - 1)
Calculamos as derivadas parciais em relação a x e a lambda. Para xinR^3,
partialLpartial x = 2x - lambda,2A x = 0 Longrightarrow A x = 1lambda,x
E a restrição impõe
x^T A x = 1

Passo 3

Da condição A x = mu,x com mu = 1/lambda, vemos que x deve ser autovetor de A. Seja v um autovetor unitário de A, isto é, A v = mu v e |v|=1. Para satisfazer x^T A x=1, tomamos
x = t,v,
e então
x^T A x = t^2,v^T A v = t^2,mu = 1 Longrightarrow t^2 = 1mu

Passo 4

A distância ao quadrado nessa direção é
r^2 = x^T x = t^2,v^T v = 1mu
Como A é simétrica real, tem três autovalores reais mu1,mu2,mu3. Os correspondentes semi-eixos são
elli = 1raizmui
O maior semi-eixo ocorre para o menor autovalor mumin, de modo que
ell = maxi elli = 1raizmumin

Passo 5

Os autovalores mu de A são as raízes da equação característica
detl(A - mu Ir)=0
Substituindo mu = 1/ell^2 ficamos com
det!l(A - tfrac1ell^2Ir)=0,
e a maior das raízes ell dessa equação é exatamente o maior semi-eixo do elipsóide.

Resposta

O maior semi-eixo ell do elipsóide é a maior raiz da equação
det a-1ell^2 & d & e d & b-1ell^2 & f e & f & c-1ell^2 =0

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