Exercício 27. Estude a posição relativa entre r e \pi.
(2) r: X=(2,2,1)+\lambda(3,3,0) \quad e \quad \pi: X=(1,0,1)+\mu(1,1,1)+\nu(0,0,3)

Passo 1

O enunciado pede: estudar a posição relativa entre a reta r e o plano \pi. Ou seja, determinar se a reta corta o plano (interseção em um ponto), se é paralela ao plano (sem interseção) ou se está contida no plano (toda a reta pertence ao plano).
Informações dadas:
  • A reta r na forma vetorial: X=(2,2,1)+\lambda(3,3,0).
    • ponto de r: P_r=(2,2,1).
    • vetor diretor de r: \vec v=(3,3,0).
  • O plano \pi na forma paramétrica: X=(1,0,1)+\mu(1,1,1)+\nu(0,0,3).
    • ponto de \pi: P_\pi=(1,0,1).
    • vetores diretores do plano: \vec u=(1,1,1) e \vec w=(0,0,3).

Passo 2

Estratégia (explicação didática das ferramentas que vamos usar):
  • Uma reta é paralela a um plano se o vetor diretor da reta pertence ao espaço gerado (span) pelos vetores diretores do plano; geometricamente, isso significa que a direção da reta está contida na direção do plano. Em termos algébricos, devemos verificar se existem escalares \alpha,\beta tais que
\alpha\vec u+\beta\vec w=\vec v.
  • Outra maneira equivalente de testar paralelismo é calcular um vetor normal \vec n ao plano (produto vetorial \vec n=\vec u\times\vec w) e verificar se \vec v\cdot\vec n=0. Se o produto escalar for zero, \vec v é perpendicular ao normal, logo paralelo ao plano.
  • Se a reta for paralela ao plano, então ou ela está totalmente contida no plano (basta um ponto da reta pertencer ao plano) ou não intersecta o plano (nenhum ponto da reta pertence ao plano). Para testar se um ponto P_r da reta pertence ao plano, resolvemos para \mu,\nu na igualdade
P_\pi+\mu\vec u+\nu\vec w=P_r.
Se houver solução, a reta está contida; se não, a reta é paralela distinta (sem interseção).

Passo 3

Testando se \vec v\) pertence ao span\(\{\vec u,\vec w\}\). Escrevemos o sistema para \(\alpha,\beta\): \[\alpha(1,1,1)+\beta(0,0,3)=(3,3,0).
Isso dá três equações coordenada a coordenada:
\begin{cases} \alpha = 3,\\[4pt] \alpha = 3,\\[4pt] \alpha + 3\beta = 0. \end{cases}
Das duas primeiras equações obtemos \alpha=3\]. Substituindo na terceira: \[3+3\beta=0 \quad\Rightarrow\quad \beta=-1.\] Como existe solução \(\alpha=3,\\ \beta=-1, concluímos que
\vec v = 3\vec u -1\vec w,
ou seja, \vec v pertence ao span \{\vec u,\vec w\}. Portanto a reta r é paralela ao plano \pi.]

Passo 4

Verificação alternativa (útil para entender melhor): cálculo do vetor normal do plano.
\vec n=\vec u\times\vec w=(1,1,1)\times(0,0,3).
Usando a fórmula do produto vetorial:
\vec n=\big(1\cdot3-1\cdot0,\;1\cdot0-1\cdot3,\;1\cdot0-1\cdot0\big)=(3,-3,0).
Agora calcule o produto escalar \vec v\cdot\vec n:
\vec v\cdot\vec n=(3,3,0)\cdot(3,-3,0)=3\cdot3+3\cdot(-3)+0\cdot0=9-9+0=0.
Como \vec v\cdot\vec n=0, \vec v é perpendicular ao normal \vec n, logo \vec v é paralelo ao plano — confirma o resultado do passo anterior.

Passo 5

Agora testamos se a reta está contida no plano (ou seja, se ao menos um ponto da reta pertence ao plano). Como a reta é paralela ao plano, basta testar um ponto qualquer de [r); uso P_r=(2,2,1) (quando \lambda=0).
Procuramos \mu,\nu tais que
P_\pi+\mu\vec u+\nu\vec w=P_r,
isto é
(1,0,1)+\mu(1,1,1)+\nu(0,0,3)=(2,2,1).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} 1+\mu = 2,\\[4pt] 0+\mu = 2,\\[4pt] 1+\mu+3\nu = 1. \end{cases}
Da primeira equação obtemos \mu=1\]. Da segunda obtemos \(\mu=2. Essas duas exigências entram em contradição ( 1\neq2), logo não existe par (\mu,\nu) que satisfaça todas as equações. Portanto P_r não pertence ao plano \pi. Como a reta é paralela ao plano, se um ponto não pertence então nenhum pertence; concluímos que a reta não está contida no plano e não intersecta o plano.]

Passo 6

Interpretação final e frase de incentivo:
  • Concluímos que a reta r é paralela ao plano \pi (vetor diretor de r está no span dos vetores diretores do plano e \vec v\cdot\vec n=0).
  • Além disso, r não possui nenhum ponto em comum com \pi (teste do ponto mostrou inconsistência), então são distintos e disjuntos.
Fica a dica prática para provas: primeiro verifique se o vetor diretor da reta pertence ao span dos geradores do plano (ou verifique com o normal). Se for paralelo, teste um ponto da reta no plano; se a verificação falhar, é paralela e disjunta; se passar, a reta está contida no plano.

Resposta

r é paralela ao plano \pi e r\cap\pi=\varnothing.

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