Exercício 26. Mostre que as retas r e s determinam um plano \pi e obtenha uma equação geral de \pi.
(1) r: x-1=y=2 z e s: x-1=y=z
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Mostrar que as retas r e s determinam um plano \pi.
Obter uma equação geral de \pi.
As informações fornecidas são as equações das retas, na forma simétrica:
r: x-1 = y = 2z.
s: x-1 = y = z.
Passo 2
Primeiro convém escrever cada reta em forma paramétrica (vetorial), para extrair um ponto da reta e um vetor diretor. Isso ajuda a trabalhar com vetores e planos na prova.
Para r: tome o parâmetro t tal que t = x-1 = y = 2z. Então
Para evitar frações é comum multiplicar o vetor diretor por 2; assim um vetor diretor de r é
\mathbf{v}_r = (2,2,1).
Um ponto de r (quando t=0) é P=(1,0,0).
Para s: tome o parâmetro u tal que u = x-1 = y = z. Então
x = u+1,\qquad y = u,\qquad z = u,
ou em forma vetorial
(x,y,z) = (1,0,0) + u(1,1,1).
Um vetor diretor de s é
\mathbf{v}_s = (1,1,1).
O mesmo ponto (quando u=0) é P=(1,0,0).
Passo 3
Agora verificamos se as retas determinam um plano:
Elas têm um ponto em comum: ambas passam por P=(1,0,0).
Seus vetores diretores \mathbf{v}_r=(2,2,1) e \mathbf{v}_s=(1,1,1) não são múltiplos escalares um do outro (porque 2/1=2, 2/1=2 mas 1/1=1, valores diferentes). Logo as retas não são paralelas nem coincidentes.
Conclusão: duas retas que se intersectam e não são colineares determinam um plano único. Portanto r e s determinam um plano \pi.
Passo 4
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal \mathbf{n} ao plano. Um caminho direto é calcular o produto vetorial (cross product) dos vetores diretores: \mathbf{n}=\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s. O produto vetorial de dois vetores dá um vetor perpendicular a ambos.
Calculemos \mathbf{n}. Usando a regra do determinante,
Componente x (coef. de \mathbf{i}): 2\cdot1 - 1\cdot1 = 2-1 = 1.
Componente y (coef. de \mathbf{j}): com sinal negativo, -(2\cdot1 - 1\cdot1) = -(2-1) = -1.
Componente z (coef. de \mathbf{k}): 2\cdot1 - 2\cdot1 = 2-2 = 0.
Portanto
\mathbf{n} = (1,-1,0).]
Passo 5
A equação de um plano com vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) que passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) é dada pela forma ponto-normal:
a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0.
Aqui a=1, b=-1, c=0 e podemos usar o ponto P=(1,0,0). Substituindo:
1\cdot(x-1) + (-1)\cdot(y-0) + 0\cdot(z-0) = 0.
Simplificando:
x-1 - y = 0.
Reescrevendo na forma geral:
x - y - 1 = 0.
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): substituir as parametrizações das retas na equação do plano para confirmar que ambas as retas estão contidas no plano.
Para r: com x=t+1, y=t,
x - y -1 = (t+1) - t -1 = 0.
Para s: com x=u+1, y=u,
x - y -1 = (u+1) - u -1 = 0.
Ambas colidem com zero para todo parâmetro, logo ambas as retas pertencem ao plano encontrado.