Exercício 28 : (IME) Se 4^{x}+4^{-x}=5, calcule 2^{x}+2^{-x}.

Passo 1

O enunciado dá a equação envolvendo potências de base 4:
4^{x} + 4^{-x} = 5
e pede para calcular
2^{x} + 2^{-x}.
O conteúdo é resolução de equações exponenciais e uso de substituição para reduzir poderes de 4 a poderes de 2.

Passo 2

Note que 4^{x}=(2^{x})^{2} e 4^{-x}=(2^{-x})^{2}. Vamos definir
t = 2^{x},
logo t>0. A equação fica
t^{2} + t^{-2} = 5.

Passo 3

Queremos t + t^{-1}. Seja
S = t + t^{-1}.
Elevando ao quadrado,
S^{2} = \bigl(t + t^{-1}\bigr)^{2} = t^{2} + 2 + t^{-2}.
Como t^{2}+t^{-2}=5, temos
S^{2} = 5 + 2 = 7 \quad\Longrightarrow\quad S = \pm\sqrt{7}.

Passo 4

Porém t=2^{x}>0 implica S = t + t^{-1}>0. Logo
S = \sqrt{7}.

Resposta

\sqrt{7}

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