Exercício 26. Estudou-se a relação da pressão arterial elevada e três distúrbios nutricionais, denominados de A, B e C. Foram analisadas 100 pessoas, seguem os dados abaixo:
Doenças
Pressão arterial A B C
Normal 10 8 2
Elevada 15 45 20
Para este grupo de pessoas, determine a probabilidade de:
(b) Uma pessoa escolhida aleatoriamente ter pressão elevada e/ou distúrbio A?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que uma pessoa escolhida aleatoriamente tenha pressão elevada e/ou distúrbio A. Ou seja, queremos a probabilidade de ocorrer o evento “pressão elevada OU distúrbio A (ou ambos)”.
Peguei os dados da tabela fornecida (contagens em 100 pessoas):
\begin{array}{c|ccc} & A & B & C \\\ \hline \text{Normal} & 10 & 8 & 2 \\\ \text{Elevada} & 15 & 45 & 20 \end{array}

Passo 2

Definimos os eventos que vamos usar (isso ajuda a organizar a conta):
  • E: pessoa com pressão arterial elevada.
  • A: pessoa com distúrbio A.
    Agora extraímos das contagens da tabela os totais relevantes (estou usando explicitamente os números da tabela):
  • Número de pessoas com pressão elevada: n(E)=15+45+20.
  • Número de pessoas com distúrbio A: n(A)=10+15.
  • Número de pessoas com pressão elevada e distúrbio A ao mesmo tempo: n(E\cap A)=15 (peguei esse valor da célula da tabela onde Elevada e A se cruzam).

Passo 3

Vamos calcular esses totais passo a passo (mastigando a conta):
n(E)=15+45+20=80.
n(A)=10+15=25.
n(E\cap A)=15.
Explicando o raciocínio: n(E) soma todas as pessoas na linha “Elevada”; n(A) soma a coluna A (tanto Normal quanto Elevada); n(E\cap A) é a interseção (Elevada e A), que está na tabela como 15.

Passo 4

Agora a parte teórica necessária (fórmula) — esta é uma ferramenta padrão para união de dois eventos:
A probabilidade da união é dada por
P(E\cup A)=P(E)+P(A)-P(E\cap A).
O motivo: se somássemos P(E) e P(A) contaríamos duas vezes quem está em E\cap A, então subtraímos P(E\cap A) para corrigir a dupla contagem. Aqui cada probabilidade é a contagem dividida pelo total 100.

Passo 5

Converter contagens em probabilidades (dividindo por 100) e aplicar a fórmula:
P(E)=\dfrac{n(E)}{100}=\dfrac{80}{100},
P(A)=\dfrac{n(A)}{100}=\dfrac{25}{100},
P(E\cap A)=\dfrac{n(E\cap A)}{100}=\dfrac{15}{100}.
Substituindo em \;P(E\cup A)=P(E)+P(A)-P(E\cap A)\;, obtemos
P(E\cup A)=\dfrac{80}{100}+\dfrac{25}{100}-\dfrac{15}{100}=\dfrac{90}{100}.

Passo 6

Verificação alternativa (contagem direta, para entender intuitivamente): quem está em E\cup A são todas as pessoas com pressão elevada (todas as 80 da linha Elevada) mais as pessoas que têm A mas NÃO têm pressão elevada (na tabela: 10 pessoas com A e Normal). Assim 80+10=90, o que confirma \dfrac{90}{100}.

Resposta

\dfrac{90}{100}=0,9=90\%

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