Exercício 27. Resolva os itens abaixo.
(i) Dados
, encontre o máximo da função
no compacto
Mostre que
(i) Dados
Passo 1
O enunciado pede para maximizar a função
sujeita à restrição
onde
.
O conteúdo envolvido é otimização com restrição, que podemos tratar via multiplicadores de Lagrange ou usando a desigualdade de AM–GM ponderada.
O conteúdo envolvido é otimização com restrição, que podemos tratar via multiplicadores de Lagrange ou usando a desigualdade de AM–GM ponderada.
Passo 2
Como
, em vez de maximizar
é equivalente maximizar
Chamemos
e a restrição
Passo 3
Construímos o lagrangeano
As condições de otimalidade pedem
além de
.
Passo 4
Das três primeiras equações obtemos
Logo
Aplicando
resulta
e então
Passo 5
Esse ponto é interior a
e, como
é estritamente côncava em
, ele é o único máximo de
. Calculando
Portanto, para todo
vale
Resposta
e consequentemente