Exercício 27. Resolva os itens abaixo.
(i) Dados , encontre o máximo da função
no compacto
Mostre que

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a função
f(x,y,z)=x^ay^bz^c
sujeita à restrição
x+y+z=1, x,y,z>=0,
onde a,b,c>0.
O conteúdo envolvido é otimização com restrição, que podemos tratar via multiplicadores de Lagrange ou usando a desigualdade de AM–GM ponderada.

Passo 2

Como f(x,y,z)>0, em vez de maximizar f é equivalente maximizar
ln f(x,y,z)=aln x + bln y + cln z
Chamemos
g(x,y,z)=aln x + bln y + cln z,
e a restrição
h(x,y,z)=x+y+z-1=0

Passo 3

Construímos o lagrangeano
L(x,y,z,lambda) = aln x + bln y + cln z ;-;lambda,(x+y+z-1)
As condições de otimalidade pedem
partialLpartial x =ax-lambda=0, partialLpartial y =by-lambda=0, partialLpartial z =cz-lambda=0,
além de h(x,y,z)=0.

Passo 4

Das três primeiras equações obtemos
ax=by=cz=lambda
Logo
x=alambda, y=blambda, z=clambda
Aplicando x+y+z=1 resulta
a+b+clambda=1 Longrightarrow lambda=a+b+c
e então
x=aa+b+c, y=ba+b+c, z=ca+b+c

Passo 5

Esse ponto é interior a K e, como g é estritamente côncava em x,y,z>0, ele é o único máximo de f. Calculando
fmax =l(tfracaa+b+cr)^a l(tfracba+b+cr)^b l(tfracca+b+cr)^c =a^ab^bc^c(a+b+c)^a+b+c
Portanto, para todo (x,y,z)in K vale
x^ay^bz^c<= a^ab^bc^c(a+b+c)^a+b+c

Resposta

maxKx^ay^bz^c =a^ab^bc^c(a+b+c)^a+b+c,
e consequentemente
x^ay^bz^c<= a^ab^bc^c(a+b+c)^a+b+c forall(x,y,z)in K

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