Exercício 7. (Apostol seção 1.13 exercício 1) As funções lang<=,rang<=: R^n times R^n R definidas abaixo definem um produto interno? Justifique.
lang<=(x1, ldots, xn),(y1, ldots, yn)rang<==raizsumj=1^n xj^2 yj^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
lang<= x,yrang<= = raizsumj=1^nxj^2,yj^2
em R^n satisfaz as três propriedades de um produto interno:
1) simetria,
2) positividade definida,
3) linearidade no primeiro argumento (homogeneidade e aditividade).

Passo 2

Verificamos a simetria: para quaisquer x,yinR^n,
lang<= y,xrang<= = raizsumj=1^n yj^2,xj^2 = raizsumj=1^n xj^2,yj^2 = lang<= x,yrang<=
Logo, a simetria está satisfeita.

Passo 3

Verificamos a positividade definida:
lang<= x,xrang<= = raizsumj=1^n xj^4 >= 0,
com igualdade se e só se todos xj^4=0, i.e.\ se x=0.
Portanto, a positividade definida também vale.

Passo 4

Testamos a homogeneidade no primeiro argumento: para cinR,
lang<= c,x,yrang<= = raizsumj=1^n (c,xj)^2,yj^2 = raizc^2sumj=1^n xj^2,yj^2 = |c|,raizsumj=1^n xj^2,yj^2 = |c|,lang<= x,yrang<=
Isto mostra que lang<= c,x,yrang<=neq c,lang<= x,yrang<= quando c<0.
Portanto falha a homogeneidade (e assim a linearidade) exigida para produto interno.

Resposta

Não, essa função não define um produto interno, pois não é linear no primeiro argumento: em geral lang<= c,x,yrang<==|c|,lang<= x,yrang<=neq c,lang<= x,yrang<=.

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