Exercício 7. (Apostol seção 1.13 exercício 1) As funções
definidas abaixo definem um produto interno? Justifique.
.
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação
e pergunta se isso satisfaz os axiomas de produto interno (simetria, bilinearidade e positividade definida).
Passo 2
Verificamos a simetria. Como a multiplicação em
é comutativa,
Passo 3
Verificamos a linearidade no primeiro argumento. Dados
e
:
Pela simetria, obtemos também linearidade no segundo argumento.
Passo 4
Verificamos a positividade definida. Para todo
:
Porém, se
e
(por exemplo
), temos
com
. Logo, falha o requisito de que
implique
.
Resposta
Não, pois embora seja simétrica e bilinear, não é positiva definida: existem
tais que
.