Exercício 7. (Apostol seção 1.13 exercício 1) As funções lang<=,rang<=: R^n times R^n R definidas abaixo definem um produto interno? Justifique.
lang<=(x1, ldots, xn),(y1, ldots, yn)rang<==(sumj=1^n xj)(sumk=1^n yk).

Passo 1

O enunciado define em R^n a aplicação
lang<= (x1,dots,xn),(y1,dots,yn)rang<= =gl(sumj=1^nxjgr)gl(sumk=1^nykgr),
e pergunta se isso satisfaz os axiomas de produto interno (simetria, bilinearidade e positividade definida).

Passo 2

Verificamos a simetria. Como a multiplicação em R é comutativa,
lang<= x,yrang<= =l(sumjxjr)l(sumkykr) =l(sumkykr)l(sumjxjr) =lang<= y,xrang<=

Passo 3

Verificamos a linearidade no primeiro argumento. Dados x,y,zinR^n e ainR:
lang<= x+y,zrang<= =l(sumj(xj+yj)r)l(sumkzkr) =l(sumjxj+sumjyjr)l(sumkzkr) =lang<= x,zrang<=+lang<= y,zrang<=,
lang<= a,x,yrang<= =l(sumja,xjr)l(sumkykr) =al(sumjxjr)l(sumkykr) =a,lang<= x,yrang<=
Pela simetria, obtemos também linearidade no segundo argumento.

Passo 4

Verificamos a positividade definida. Para todo x:
lang<= x,xrang<= =l(sumj=1^nxjr)^2>=0
Porém, se sumjxj=0 e xneq0 (por exemplo x=(1,-1,0,dots,0)), temos lang<= x,xrang<==0 com xneq0. Logo, falha o requisito de que lang<= x,xrang<==0 implique x=0.

Resposta

Não, pois embora seja simétrica e bilinear, não é positiva definida: existem xneq0 tais que lang<= x,xrang<==0.

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