Resolva os seguintes problemas de otimização.
7. Qual ponto da parábola y=x^2+1 está mais próximo do ponto A=(3,1) ?
Sugestão. A distância de um ponto qualquer P=(x, y) ao ponto A é dada por d=raiz(x-3)^2+(y-1)^2. Se P é um ponto da parábola, temos y=x^2+1, e então d=raiz(x-3)^2+x^4. Como d >= 0, temos que d terá seu valor mínimo quando d^2 assumir seu valor mínimo. Assim, basta procurarmos o valor mínimo de f(x)=(x-3)^2+x^4. Resposta. (1,2).

Passo 1

O enunciado pede o ponto da parábola y = x^2+1 que está mais próximo do ponto A=(3,1). Isso é um problema de otimização de uma função de uma variável: vamos escrever a distância de um ponto genérico (x,y) de A em função de x, usar derivadas para achar o mínimo e então obter o ponto desejado.

Passo 2

A distância ao quadrado entre (x,y) e A é
d^2=(x-3)^2+(y-1)^2
Como (x,y) está na parábola, y=x^2+1. Substituindo,
f(x)=d^2=(x-3)^2+(x^2+1-1)^2=(x-3)^2+x^4

Passo 3

Para encontrar o mínimo, calculemos a derivada:
f'(x)=ddxl((x-3)^2+x^4r) =2(x-3)+4x^3 =4x^3+2x-6
Igualando a zero:
4x^3+2x-6=0 Longrightarrow 2x^3+x-3=0
Testando x=1:
2cdot1^3+1-3=0,
logo x=1 é a única raiz real.

Passo 4

Verificamos que
f''(x)=ddxl(4x^3+2x-6r)=12x^2+2>0
para todo x. Em particular, f''(1)=14>0, o que confirma que x=1 é ponto de mínimo.

Passo 5

O valor de y correspondente é
y=1^2+1=2
Portanto, o ponto da parábola mais próximo de A é (1,2).

Resposta

(1,2)

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