Resolva os seguintes problemas de otimização.
7. Qual ponto da parábola
está mais próximo do ponto
?
Sugestão. A distância de um ponto qualquer
ao ponto A é dada por
. Se P é um ponto da parábola, temos
, e então
. Como
, temos que d terá seu valor mínimo quando
assumir seu valor mínimo. Assim, basta procurarmos o valor mínimo de
. Resposta.
.
7. Qual ponto da parábola
Passo 1
O enunciado pede o ponto da parábola
que está mais próximo do ponto
. Isso é um problema de otimização de uma função de uma variável: vamos escrever a distância de um ponto genérico
de
em função de
, usar derivadas para achar o mínimo e então obter o ponto desejado.
Passo 2
A distância ao quadrado entre
e
é
Como
está na parábola,
. Substituindo,
Passo 3
Para encontrar o mínimo, calculemos a derivada:
Igualando a zero:
Testando
:
logo
é a única raiz real.
Passo 4
Verificamos que
para todo
. Em particular,
, o que confirma que
é ponto de mínimo.
Passo 5
O valor de
correspondente é
Portanto, o ponto da parábola mais próximo de
é
.