Exercício 29. Uma cidade tem 30000 habitantes e três jornais \mathrm{A}, \mathrm{B} e C . Uma pesquisa de opinião revela que: 12000 lêem A; 8000 lêem E; 7000 lêem A e B; 6000 lêem C; 4500 lêem A e C; 1000 lêem B e C; 500 lêem A, B e C. Qual a probabilidade de que um habitante leia
(a) pelo menos um jornal;
(b) só um jornal.

Passo 1

O enunciado nos dá uma cidade com 30000 habitantes e três jornais A, B e C. Sabe-se que:
|A|=12000,\quad |B|=8000,\quad |C|=6000,
|A\cap B|=7000,\quad |A\cap C|=4500,\quad |B\cap C|=1000,\quad |A\cap B\cap C|=500.
Pede-se (a) a probabilidade de um habitante ler pelo menos um jornal e (b) a probabilidade de ler apenas um jornal. Vamos usar teoria de conjuntos e a fórmula de inclusão-exclusão.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de inclusão-exclusão para A\cup B\cup C:
|A\cup B\cup C| =|A|+|B|+|C| -|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C| +|A\cap B\cap C|.
Substituindo,
|A\cup B\cup C| =12000+8000+6000 - (7000+4500+1000) + 500 =26000-12500+500 =14000.

Passo 3

A probabilidade de ler pelo menos um jornal é
P(\text{pelo menos um}) =\frac{|A\cup B\cup C|}{30000} =\frac{14000}{30000} =\frac{7}{15}.

Passo 4

Para contar os que leem só um jornal, calculamos para cada conjunto:
|A\setminus(B\cup C)| =|A|-|A\cap B|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C| =12000-7000-4500+500 =1000.
|B\setminus(A\cup C)| =8000-7000-1000+500 =500.
|C\setminus(A\cup B)| =6000-4500-1000+500 =1000.
Portanto, o total que lê só um jornal é 1000+500+1000=2500.

Passo 5

A probabilidade de ler apenas um jornal é
P(\text{só um}) =\frac{2500}{30000} =\frac{1}{12}.ó

Resposta

(a) \displaystyle \frac{7}{15}
(b) \displaystyle \frac{1}{12}

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