Exercicio 28. Calcule o produto vetorial de vec{u} e vec{v} em cada caso:
vec{u}=(1,1,1) e vec{v}=(1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial de \vec u e \vec v, onde
\vec u = (1,1,1), \quad \vec v = (1,2,3).
O conteúdo aqui é o produto vetorial em \mathbb R^3, para o qual vamos usar a definição via determinante ou fórmula padrão de componentes.

Passo 2

O produto vetorial \vec u \times \vec v é dado por
\vec u \times \vec v = \bigl(u_2v_3 - u_3v_2,\;u_3v_1 - u_1v_3,\;u_1v_2 - u_2v_1\bigr).
Aqui u_i e v_i são as componentes de \vec u e \vec v.

Passo 3

Aplicando a fórmula às componentes:
u_2v_3 - u_3v_2 = 1\cdot 3 - 1\cdot 2 = 3 - 2 = 1,
u_3v_1 - u_1v_3 = 1\cdot 1 - 1\cdot 3 = 1 - 3 = -2,
u_1v_2 - u_2v_1 = 1\cdot 2 - 1\cdot 1 = 2 - 1 = 1.
Logo,
\vec u \times \vec v = (1,\,-2,\,1).

Passo 4

Para confirmar que esse vetor é ortogonal a ambos, podemos checar os produtos escalares:
(1,-2,1)\cdot(1,1,1)=1-2+1=0, \quad (1,-2,1)\cdot(1,2,3)=1-4+3=0.
De fato, (1,-2,1) é perpendicular a \vec u e a \vec v.

Resposta

\displaystyle \vec u \times \vec v = (1,\,-2,\,1).

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