Questão 1 ( \mathbf{3 , 0} pontos) - Considere que a reação em fase gasosa \mathrm{A} \rightarrow \square \mathrm{B}+\mathrm{C} ocorre a 350 K e 2 \mathrm{~atm} \operatorname{com}\left(-r_{A}\right)=0,253 C_{A}^{2} \frac{\mathrm{~mol}}{\mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~s}} e C_{A} em \frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{m}^{3}} . ‘A’ puro é alimentado ao reator numa taxa de 8 \mathrm{~mol} . \mathrm{s}^{-1} e a conversão desejada é \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=0,99.
Determine o volume de um PFR necessário para efetuar esta operação.

Passo 1

O enunciado nos dá (peguei todos estes dados do enunciado):
  • Temperatura: T=350\\ \text{K}.
  • Pressão: P=2\\ \text{atm}.
  • Lei de velocidade (consumo de A): (-r_A)=0,253\,C_A^{2}\quad\left[\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{m}^{3}\cdot\mathrm{s}}\right], em que C_A está em \mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}.
  • Alimentação: corrente molar de A na entrada F_{A0}=8\\ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
  • Conversão desejada: X_A=0,99.
O enunciado escreveu a reação gasosa como \mathrm{A}\rightarrow\square\mathrm{B}+\mathrm{C}. Para poder relacionar a concentração com a conversão num gás ideal é necessário conhecer a variação do número total de mols com a reação. Vou assumir a estequiometria mais simples plausível, isto é \mathrm{A}\rightarrow\mathrm{B}+\mathrm{C} (1 mol de A gera 2 mols de produtos). Com isso o aumento fracionário do número total de mols por mol de A consumido é \varepsilon=+1. Se a estequiometria fosse diferente, o resultado mudaria — aqui estou assumindo 1:1:1 porque o enunciado não especificou o coeficiente dentro do quadrado.
O que precisa ser determinado: o volume do reator PFR necessário para alcançar X_A=0,99.

Passo 2

Equação de balanço molar diferencial para PFR (sem acumulação de fase gasosa extra): \frac{dF_A}{dV}=r_A.
Usando F_A=F_{A0}(1-X) e diferenciando: \frac{dF_A}{dV}=-F_{A0}\frac{dX}{dV}=r_A.
Como a lei dada é para (-r_A)>0, escrevemos r_A=-(-r_A)=-0,253\,C_A^2. Substituindo em cima:
-\,F_{A0}\frac{dX}{dV}=-0,253\,C_A^2.
Cancelando o sinal negativo obtemos a expressão útil para projeto:
F_{A0}\frac{dX}{dV}=0,253\,C_A^2 \quad\Longrightarrow\quad dV=\frac{F_{A0}}{0,253}\,\frac{dX}{C_A^2}.
Portanto o volume do PFR é V= \frac{F_{A0}}{0,253}\int_{0}^{X_A}\frac{dX}{C_A^2}.

Passo 3

Agora precisamos escrever C_A em função de X. Para um gás ideal a concentração total é C_T=\frac{P}{RT}\quad\left[\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{m}^3}\right].
A fração molar de A ao longo do reator é y_A=\frac{F_A}{F_T}=\frac{F_{A0}(1-X)}{F_{A0}(1+\varepsilon X)}=\frac{1-X}{1+\varepsilon X}, onde \varepsilon é o aumento fracionário do número total de mols por mol de A consumido. Com a suposição \mathrm{A}\rightarrow\mathrm{B}+\mathrm{C} temos \varepsilon=1. Logo:
y_A=\frac{1-X}{1+X}.
A concentração de A é C_A=y_A C_T=\frac{P}{RT}\,\frac{1-X}{1+X}.

Passo 4

Substituindo C_A em dV:
dV=\frac{F_{A0}}{0,253}\,\frac{dX}{\left(\dfrac{P}{RT}\dfrac{1-X}{1+X}\right)^{2}} =\frac{F_{A0}}{0,253}\left(\frac{RT}{P}\right)^{2}\frac{(1+X)^{2}}{(1-X)^{2}}\,dX.
Portanto
V=\frac{F_{A0}}{0,253}\left(\frac{RT}{P}\right)^{2}\int_{0}^{X_A}\frac{(1+X)^{2}}{(1-X)^{2}}\,dX.

Passo 5

Calculo da integral. Primeiro simplifico a integranda por manipulação algébrica:
\frac{(1+X)^{2}}{(1-X)^{2}}=\left(\frac{1+X}{1-X}\right)^{2} =1-\frac{4}{1-X}+\frac{4}{(1-X)^{2}}.
(Quem quiser verificar pode expandir e reunir termos; a identidade é verdadeira.)
Integrando termo a termo:
\int\frac{(1+X)^{2}}{(1-X)^{2}}\,dX =\int\left[1-\frac{4}{1-X}+\frac{4}{(1-X)^{2}}\right]dX.
As primitivas são:
\int 1\,dX = X,\qquad \int -\frac{4}{1-X}\,dX = 4\ln(1-X),\qquad \int \frac{4}{(1-X)^{2}}\,dX = \frac{4}{1-X}.
Portanto uma primitiva conveniente é
X+4\ln(1-X)+\frac{4}{1-X}.
A integral definida de 0 a X_A é
\int_{0}^{X_A}\frac{(1+X)^{2}}{(1-X)^{2}}\,dX =\Bigl[X+4\ln(1-X)+\frac{4}{1-X}\Bigr]_{0}^{X_A} = X_A+4\ln(1-X_A)+\frac{4}{1-X_A}-4,
porque, ao avaliar em X=0, obtém-se 0+4\ln 1+4/1=4.

Passo 6

Agora substituo valores numéricos. Usarei R=8,3145\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\mathrm{K}^{-1} e converterei P para pascal: P=2\\ \text{atm}=2\times1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=202650\\ \mathrm{Pa}.
Calculo intermediário:
\frac{RT}{P}=\frac{8,3145\cdot350}{202650}\approx 0,0143631\\ \mathrm{m}^{3}\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-1}.
Quadrado:
\left(\frac{RT}{P}\right)^{2}\approx 0,00020629\\ \mathrm{m}^{6}\!\cdot\!\mathrm{mol}^{-2}.
Fator fora da integral:
\frac{F_{A0}}{0,253}=\frac{8}{0,253}\approx 31,6228.
Logo o prefator numérico é
\frac{F_{A0}}{0,253}\left(\frac{RT}{P}\right)^{2}\approx 31,6228\times0,00020629\approx 0,0065238\\ \mathrm{m}^{3}.
Agora a parte da integral para X_A=0,99:
1-X_A=0,01,\qquad \ln(1-X_A)=\ln(0,01)=-4,605170\dots
X_A+4\ln(1-X_A)+\frac{4}{1-X_A}-4 =0,99+4(-4,605170)+\frac{4}{0,01}-4
=0,99-18,42068+400-4=378,569319\dots
Finalmente:
V\approx 0,0065238\times 378,569319\approx 2,47\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 7

Interpretando: o volume necessário do PFR para atingir X_A=0,99 sob as condições dadas (e assumindo \mathrm{A}\rightarrow\mathrm{B}+\mathrm{C}, isto é \varepsilon=1) é cerca de 2,47\\ \mathrm{m}^3.

Resposta

V\approx 2,47\\ \mathrm{m}^{3}

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