No problema abaixo, a matriz de coeficientes contém um parâmetro a.
\mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr} 0 & -5 \\\\ 1 & \alpha \end{array}\right) \mathbf{x}
a) Determine os autovalores em função de \alpha.
b) Encontre o valor ou valores de bifurcação de \alpha em que muda a natureza qualitativa do retrato de fase para o sistema.
c) Desenhe retratos de fase para um valor de \alpha ligeiramente menor, e para outro valor ligeiramente maior, do que cada valor de bifurcação.
14. (7.6) Uma massa m em uma mola com constante k satisfaz a equação diferencial (veja a Seção 3.7)
m u^{\prime \prime}+k u=0
em que u(t) é o deslocamento da massa no instante t a partir de sua posição de equilíbrio.
a) Sejam x_{1}=u, x_{2}=u^{\prime}; mostre que o sistema resultante é \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -\frac{k}{m} & 0\end{array}\right) \mathbf{x}.
b) Encontre os autovalores da matriz para o sistema no item (a).
c) Esboce diversas trajetórias do sistema) Escolha uma de suas trajetórias e esboce os gráficos correspondentes de x_{1} e de x_{2} em função de t. Esboce ambos os gráficos no mesmo conjunto de eixos.
d) Qual é a relação entre os autovalores da matriz de coeficientes e a frequência natural do sistema massa-mola?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
Para o primeiro sistema:
  • Dado o sistema linear de dimensão 2:
\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}0 & -5\\[4pt] 1 & \alpha\end{pmatrix}\mathbf{x}.
  • Perguntas pedidas:
    (a) Determinar os autovalores em função de \alpha.
    (b) Encontrar os valores de \alpha onde muda a natureza qualitativa do retrato de fase (valores de bifurcação).
    (c) Para cada valor de bifurcação, desenhar (esboçar) retratos de fase para um \alpha ligeiramente menor e para um \alpha ligeiramente maior do que o valor de bifurcação.
Para o problema 14 (massa-mola):
  • Dada a equação
m\,u''+k\,u=0,
com u(t) deslocamento, m massa e k constante elástica.
  • Perguntas pedidas:(a) Com x_1=u e x_2=u', escrever o sistema de primeira ordem e mostrar que é \mathbf{x}'=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-\dfrac{k}{m} & 0\end{pmatrix}\mathbf{x}.
    (b) Encontrar os autovalores dessa matriz.
    (c) Esboçar diversas trajetórias no plano de fase; escolher uma trajetória e esboçar x_1(t) e x_2(t) no mesmo conjunto de eixos.
    (d) Relacionar os autovalores com a frequência natural do sistema massa-mola.
Observações úteis que vou usar (agora só listadas):
  • Para um sistema linear \mathbf{x}'=A\mathbf{x} em \mathbb{R}^2, os autovalores de A determinam o tipo de equilíbrio na origem: nó (stable/unstable), sela, foco/espiral (stable/unstable), centro (periódico), degenerações em autovalores repetidos etc.
  • Vou usar o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0 para achar autovalores e a relação traço/determinante para interpretar o sinal das partes reais.]

Passo 2

(a) Calcular o polinômio característico e os autovalores do primeiro sistema.
Escrevemos o polinômio característico de A=\begin{pmatrix}0 & -5\\[4pt]1 & \alpha\end{pmatrix}:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & -5\\[4pt]1 & \alpha-\lambda\end{pmatrix}=(-\lambda)(\alpha-\lambda)-(-5)(1).
Desenvolvendo:
\det(A-\lambda I)=-\lambda(\alpha-\lambda)+5=\lambda^2-\alpha\lambda+5.
Portanto os autovalores \lambda são raízes de
\lambda^2-\alpha\lambda+5=0.
Usando a fórmula quadrática:
\lambda=\frac{\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-20}}{2}.
Essa é a expressão geral dos autovalores em função de \alpha. Vou explicar o que cada símbolo significa: \alpha é o parâmetro do problema; \lambda é um autovalor (geralmente complexo); a expressão \sqrt{\alpha^2-20} determina se as raízes são reais ( \alpha^2-20\ge0) ou complexas conjugadas ( \alpha^2-20<0).]

Passo 3

Interpretação das condições para tipos de autovalores e relação com o traço/determinante (teoria prática para prova).
  • Traço e determinante de A: \operatorname{tr}A=\alpha,\qquad \det A=5.Essas duas quantidades dizem muito: para \mathbb{R}^2, se \det A<0 tem sempre uma sela; aqui \det A=5>0 então nunca teremos sela. Como \det A>0, os dois autovalores têm o mesmo sinal real (ou são conjugados com mesmo real).
  • Classificação pelo discriminante \Delta=\alpha^2-20:
    • Se \Delta>0 ( |\alpha|>2\sqrt{5}), autovalores reais e distintos \Rightarrow nó (stable se \operatorname{tr}A<0, unstable se \operatorname{tr}A>0).
    • Se \Delta=0 ( |\alpha|=2\sqrt{5}), autovalores reais repetidos \Rightarrow caso degenerado (nó degenerado / caso crítico).
    • Se \Delta<0 ( |\alpha|<2\sqrt{5}), autovalores complexos conjugados \lambda=\dfrac{\alpha}{2}\pm i\omega com \omega=\dfrac{\sqrt{20-\alpha^2}}{2}. O sinal da parte real é dado por \dfrac{\alpha}{2}: se \alpha<0 espiral estável (foco atrator), se \alpha>0 espiral instável (foco repulsor). Se \alpha=0 temos autovalores puros imaginários e centro (movimento periódico, neutrally stable).
Essa explicação mostra como, na prova, você olha para \Delta e para \operatorname{tr}A para classificar rapidamente o equilíbrio na origem.

Passo 4

(b) Determinar os valores de bifurcação de \alpha — ou seja, valores onde a natureza qualitativa muda.
Mudanças qualitativas ocorrem quando:
  • As raízes deixam de ser reais para se tornarem complexas (ou vice-versa): quando \Delta=0. Assim:
\alpha^2-20=0\quad\Rightarrow\quad \alpha=\pm 2\sqrt{5}.
  • As partes reais dos autovalores passam por zero: isto acontece quando \operatorname{tr}A=\alpha=0. Nesse ponto os autovalores ficam puramente imaginários (centro). Então
\alpha=0
é outro valor de mudança qualitativa (passagem de espiral estável para espiral instável via centro).
Logo, os valores de \alpha onde o tipo muda são \alpha=-2\sqrt{5}, \alpha=0 e \alpha=2\sqrt{5}. Vou agora explicar o que muda exatamente em cada um.

Passo 5

Descrição da mudança qualitativa em cada intervalo de \alpha (muito útil para desenhar os retratos):
  • Caso 1: \alpha< -2\sqrt{5} (ou seja |\alpha|>2\sqrt{5} e \alpha<0)
    • \Delta>0 e \operatorname{tr}A<0 \Rightarrow dois autovalores reais e negativos distintos.
    • Tipo: nó estável (todas as trajetórias vão para a origem, alongadas ao longo das direções dos autovetores).
  • Caso 2: -2\sqrt{5}<\alpha<0
    • \Delta<0 e \operatorname{tr}A<0 \Rightarrow autovalores complexos com parte real negativa.
    • Tipo: foco (espiral) estável — soluções espiralam para 0.
  • Caso 3: \alpha=0
    • \lambda=\pm i\sqrt{5} puros imaginários.
    • Tipo: centro (órbitas fechadas, neutrally stable — a linearização dá elipses).
  • Caso 4: 0<\alpha<2\sqrt{5}
    • \Delta<0 e \operatorname{tr}A>0 \Rightarrow foco (espiral) instável — espiralam para fora.
  • Caso 5: \alpha>2\sqrt{5}
    • \Delta>0 e \operatorname{tr}A>0 \Rightarrow dois autovalores reais positivos distintos.
    • Tipo: nó instável (todas as trajetórias saem do ponto de equilíbrio).
Comentário prático: na prova, memorize o diagrama trace/determinant: aqui \det=5>0 fixa que não há sela, e o sinal de \operatorname{tr}=\alpha decide estabilidade global; a discriminante decide se é nó (real) ou foco (complexo).

Passo 6

Orientação (sentido de rotação) nos casos de autovalores complexos — como saber se as órbitas giram no sentido horário ou anti-horário?
Pegamos o campo vetorial:
x_1'= -5 x_2,\qquad x_2'= x_1+\alpha x_2.
Verifiquemos em pontos simples para decidir o sentido:
  • Em (x_1,x_2)=(1,0): (x_1',x_2')=(0,1) — vetor apontando para cima.
  • Em (x_1,x_2)=(0,1): (x_1',x_2')=(-5,\alpha) — componente x_1' negativa grande, então aponta para a esquerda (mais ou menos para cima/ esquerda dependendo de \alpha).
    Isso indica que as trajetórias giram no sentido anti-horário (sentido trigonométrico). Portanto, quando há um foco ou centro, as órbitas giram anti-horário.

Passo 7

(c) Esboço dos retratos de fase ligeiramente abaixo/ acima de cada valor de bifurcação, descrevendo o aspecto e a orientação.
Para cada valor crítico:
  • Para \alpha=-2\sqrt{5}:
    • Escolha \alpha_- ligeiramente menor (por exemplo \alpha=\!-2\sqrt{5}-\varepsilon): então \alpha_-< -2\sqrt{5} dá nó estável — trajetórias vão radialmente (ao longo de direções das autovetores) para a origem, com direções predominantes pelas autovetores; flechas apontando para dentro.
    • Escolha \alpha_+ ligeiramente maior (por exemplo \alpha=\!-2\sqrt{5}+\varepsilon): então -2\sqrt{5}<\alpha_+<0 dá foco estável — as trajetórias espiralam para a origem no sentido anti-horário.
  • Para \alpha=0:
    • Escolha \alpha_- ligeiramente menor (por exemplo \alpha=-\varepsilon): foco estável (espirais indo para dentro, anti-horário).
    • Escolha \alpha_+ ligeiramente maior (por exemplo \alpha=+\varepsilon): foco instável (espirais saindo para fora, anti-horário).
    • Em \alpha=0 exatamente: centros com órbitas fechadas (elipses), movimento periódico, neutrally stable.
  • Para \alpha=2\sqrt{5}:
    • Escolha \alpha_- ligeiramente menor (por exemplo \alpha=2\sqrt{5}-\varepsilon): então 0<\alpha_-<2\sqrt{5} dá foco instável — espirais saindo para fora, anti-horário.
    • Escolha \alpha_+ ligeiramente maior (por exemplo \alpha=2\sqrt{5}+\varepsilon): então \alpha_+>2\sqrt{5} dá nó instável — trajetórias saem ao longo de direções das autovetores; flechas apontando para fora.
Dicas de desenho (na prova): para nós reais desenhe linhas que seguem duas direções predominantes (autovetores) e mostre se vão para dentro/fora. Para focos desenhe espirais com sentido anti-horário; para centro desenhe elipses.

Passo 8

Agora resolvendo o problema 14 (massa-mola) passo a passo.
(a) Começando com x_1=u e x_2=u':
x_1'=u'=x_2,
x_2'=u''.
Da equação original m u''+k u=0 isolamos u'':
u''=-\frac{k}{m}u=-\frac{k}{m}x_1.
Assim o sistema em primeira ordem é
\begin{cases} x_1'=x_2,\\[4pt] x_2'=-\dfrac{k}{m}\,x_1. \end{cases}
Em forma matricial:
\mathbf{x}'=\begin{pmatrix}0 & 1\\[6pt]-\dfrac{k}{m} & 0\end{pmatrix}\mathbf{x},
como pedido.]

Passo 9

(b) Autovalores da matriz do problema massa-mola.
Seja B=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-\dfrac{k}{m} & 0\end{pmatrix}. O polinômio característico é
\det(B-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt]-\dfrac{k}{m} & -\lambda\end{pmatrix}=\lambda^2+\dfrac{k}{m}.
Igualando a zero:
\lambda^2+\dfrac{k}{m}=0\quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm i\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Logo os autovalores são puramente imaginários conjugados \lambda=\pm i\omega com
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.]

Passo 10

(c) Esboço das trajetórias (intuitivo e prático) e gráficos de x_1(t) e x_2(t).
  • No plano de fase (x_1,x_2) o sistema é conservativo (energia constante) e as soluções são órbitas fechadas (elipses centradas na origem). Assim, as trajetórias são curvas fechadas — isso corresponde a um centro linear (já que os autovalores são puros imaginários).
  • Uma solução típica é
x_1(t)=A\cos(\omega t+\varphi),\qquad x_2(t)=x_1'(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi),
com \omega=\sqrt{k/m}, amplitude A e fase \varphi. O sinal menos em x_2 aparece porque x_2 é a derivada de x_1.
  • No mesmo gráfico de tempo: x_1(t) é um cosseno de amplitude A; x_2(t) é um seno (deslocado de +\pi/2 ou -\pi/2) multiplicado por \omega, logo tem amplitude A\omega e está defasado de \pi/2 em relação a x_1. Por exemplo, para \varphi=0:
    • x_1(t)=A\cos(\omega t) cruza zero com derivada negativa quando \cos passa de positivo para negativo,
    • x_2(t)=-A\omega\sin(\omega t) está deslocado \pi/2 e tem amplitude maior se \omega>1.
  • Observação prática para desenhar: desenhe cosseno e seno com mesma frequência \omega, note que x_2 tem amplitude multiplicada por \omega e que os dois se cruzam periodicamente; no plano de fase isso corresponde à elipse paramétrica (x_1,x_2)=(A\cos(\omega t+\varphi),-A\omega\sin(\omega t+\varphi)).

Passo 11

(d) Relação entre autovalores e frequência natural.
  • Os autovalores encontrados foram \lambda=\pm i\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\pm i\omega.
  • A frequência natural do sistema massa-mola é exatamente
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
  • Interpretação: a parte imaginária dos autovalores (o módulo da parte imaginária) é a frequência angular \omega. Em sistemas lineares sem amortecimento, autovalores puramente imaginários \pm i\omega implicam soluções oscilatórias com frequência angular \omega e período T=\dfrac{2\pi}{\omega}.

Resposta

Sistema 1:
(a) \displaystyle \lambda=\frac{\alpha\pm\sqrt{\alpha^{2}-20}}{2}.
(b) Valores de bifurcação: \alpha=-2\sqrt{5},\\ \alpha=0,\\ \alpha=2\sqrt{5}.
(c) Natureza do equilíbrio por intervalos (orientação anti-horária para focos/centro):
  • \alpha< -2\sqrt{5}: nó estável (autovalores reais negativos).
  • -2\sqrt{5}<\alpha<0: foco (espiral) estável (partes reais negativas).
  • \alpha=0: centro (autovalores \pm i\sqrt{5}, órbitas fechadas).
  • 0<\alpha<2\sqrt{5}: foco (espiral) instável (partes reais positivas).
  • \alpha>2\sqrt{5}: nó instável (autovalores reais positivos).
Problema 14 (massa-mola):
(a) \displaystyle \mathbf{x}'=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-\dfrac{k}{m} & 0\end{pmatrix}\mathbf{x}.
(b) \displaystyle \lambda=\pm i\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
(c) Trajetórias no plano de fase: elipses fechadas (centro). Solução típica: \displaystyle x_1(t)=A\cos(\omega t+\varphi),\\ x_2(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi) com \omega=\sqrt{k/m}. Gráficos de x_1(t) e x_2(t): funções senoidais da mesma frequência \omega, defasadas em \pi/2 e com amplitudes A e A\omega.
(d) A frequência natural \omega do sistema é \displaystyle \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}, que aparece como o módulo da parte imaginária dos autovalores \lambda=\pm i\omega.]

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