Questão 4(2,5) : Encontre a solução particular da equação da onda
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
em que o comprimento da corda é L=2, a velocidade da onda é c=1, sob a condição:
u(x, 0)=f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x, & \text { se } 0<x<1 \\\\ 1, & \text { se } 1<x<2 \end{array} \quad u_{t}(x, 0)=0\right.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma solução particular:
  • Equação da onda:
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}},\qquad c=1.
  • Comprimento da corda: L=2\) (o enunciado fornece a função inicial apenas em \(0<x<2\)). - Condições iniciais: \[u(x,0)=f(x)=\begin{cases} x,&\text{se }0<x<1,\\[4pt] 1,&\text{se }1<x<2, \end{cases} \qquad u_t(x,0)=0.
O que se pede: encontrar a solução particular (u(x,t)] que satisfaz a PDE com essas condições iniciais.]

Passo 2

Escolha do método e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
  • Para o problema de valor inicial (problema de Cauchy) da equação da onda no eixo real, a forma geral das soluções viajantes é a soma de ondas que se propagam à direita e à esquerda:
u(x,t)=p(x-t)+q(x+t),
onde p e q são funções a determinar a partir das condições iniciais. Essa forma vem da fatoração formal \partial_t^2-\partial_x^2=(\partial_t-\partial_x)(\partial_t+\partial_x) e da busca por soluções dependentes de combinações x\pm t.
  • Aplicando as condições iniciais em t=0:
u(x,0)=p(x)+q(x)=f(x),
u_t(x,0)=-p'(x)+q'(x)=0.
Da segunda equação temos q'(x)=p'(x), portanto q(x)=p(x)+C para alguma constante C. Substituindo em p+q=f 2p(x)+C=f(x). Se assumirmos que as funções se anulam à infinidade (ou que a extensão de f fora de [0,2] é de suporte compacto), podemos tomar C=0 e obter p(x)=q(x)=\tfrac12 f(x). Assim:
u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(f(x+t)+f(x-t)\bigr).
Essa é a fórmula de d’Alembert para u_t(x,0)=0. Observação: essa dedução é a mais básica e adequada quando tratamos o problema no eixo real (sem condições de contorno adicionais). Vou seguir essa abordagem porque o enunciado deu apenas as condições iniciais (não foram especificadas condições de contorno); portanto trataremos o problema como inicial no eixo real assumindo que f é nula fora do segmento [0,2] (isto é uma extensão natural quando se diz "comprimento da corda L=2" e as condições iniciais só são dadas em 0<x<2).

Passo 3

Assunção explícita sobre a extensão de f\) (necessária para aplicar d'Alembert). - Vou tomar a extensão de \(f\) por zero fora do intervalo \([0,2]\), isto é: \[f(s)=\begin{cases} 0,& s\le 0,\\[4pt] s,& 0<s<1,\\[4pt] 1,& 1\le s<2,\\[4pt] 0,& s\ge 2. \end{cases}
Essa escolha é natural quando se trata de uma corda inicialmente deslocada apenas no trecho 0<x<2\]. Com isso, a solução pelo método de d'Alembert vale para todo \(x\in\mathbb{R}, t\ge 0:
u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(f(x+t)+f(x-t)\bigr).]

Passo 4

Estratégia prática para obter uma expressão explícita: analisar os valores de f nos pontos x\pm t.
  • Defina a=x-t e b=x+t. Então
u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(f(b)+f(a)\bigr).
  • Como f vale 0 fora de [0,2], vale s quando 0<s<1 e vale 1 quando 1\le s<2, precisamos considerar em que intervalo caem a e b. Vou listar os casos possíveis, avaliar f(a) e f(b) e simplificar u.

Passo 5

Cálculo dos casos: expressões de u(x,t) dependendo das desigualdades sobre a=x-t e b=x+t.
  • Caso 1: se 0\le a e b\le 1 (ou seja, 0\le x-t e x+t\le 1), então f(a)=a e f(b)=b. Assim
u(x,t)=\frac{a+b}{2}=\frac{(x-t)+(x+t)}{2}=x.
  • Caso 2: se 1\le a e b\le 2 (ou seja, 1\le x-t e x+t\le 2), então f(a)=1 e f(b)=1. Assim
u(x,t)=\frac{1+1}{2}=1.
  • Caso 3: se 0\le a\le 1 e 1\le b\le 2 (ou seja, 0\le x-t\le 1 e 1\le x+t\le 2), então f(a)=a e f(b)=1. Assim
u(x,t)=\frac{a+1}{2}=\frac{x-t+1}{2}.
  • Caso 4: se a\le 0 e b\le 1 (ou seja, x-t\le 0 e x+t\le 1), então f(a)=0 e f(b)=b. Assim
u(x,t)=\frac{0+b}{2}=\frac{x+t}{2}.
  • Caso 5: se a\le 0 e 1\le b\le 2 (ou seja, x-t\le 0 e 1\le x+t\le 2), então f(a)=0 e f(b)=1. Assim
u(x,t)=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}.
  • Caso 6: se 0\le a\le 1 e b\ge 2 (ou seja, 0\le x-t\le 1 e x+t\ge 2), então f(a)=a e f(b)=0. Assim
u(x,t)=\frac{a+0}{2}=\frac{x-t}{2}.
  • Caso 7: se 1\le a\le 2 e b\ge 2 (ou seja, 1\le x-t\le 2 e x+t\ge 2), então f(a)=1 e f(b)=0. Assim
u(x,t)=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}.
  • Caso 8: se a\le 0 e b\ge 2 (ou seja, x-t\le 0 e x+t\ge 2), então f(a)=0 e f(b)=0. Assim
u(x,t)=0.
Esses casos cobrem todas as possibilidades (cada ponto x\pm t pode estar em (-\infty,0], (0,1), [1,2) ou [2,\infty)). Em cada região a expressão de u ficou bastante simples (linear em x,t ou constante).

Passo 6

Interpretação física rápida (para te animar): a solução mostra duas cristas/partes da forma inicial deslocando-se para a direita e para a esquerda com velocidade 1. Onde ambas as cristas se sobrepõem, os valores somam (isso aparece nas expressões com x ou \tfrac{x\pm t+1}{2}); onde nenhuma está presente, u=0.

Resposta

u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl(f(x+t)+f(x-t)\bigr),
com f estendida por zero fora de [0,2]. Equivalentemente, de forma totalmente explícita e por partes:
\begin{cases} u(x,t)=x, & \text{se }0\le x-t\\ \text{ e }\\ x+t\le 1,\\[6pt] u(x,t)=1, & \text{se }1\le x-t\\ \text{ e }\\ x+t\le 2,\\[6pt] u(x,t)=\dfrac{x-t+1}{2}, & \text{se }0\le x-t\le 1\\ \text{ e }\\\ 1\le x+t\le 2,\\[6pt] u(x,t)=\dfrac{x+t}{2}, & \text{se }x-t\le 0\\ \text{ e }\\ x+t\le 1,\\[6pt] u(x,t)=\dfrac{1}{2}, & \text{se }x-t\le 0\\ \text{ e }\\\ 1\le x+t\le 2,\\[6pt] u(x,t)=\dfrac{x-t}{2}, & \text{se }0\le x-t\le 1\\ \text{ e }\\ x+t\ge 2,\\[6pt] u(x,t)=\dfrac{1}{2}, & \text{se }1\le x-t\le 2\\ \text{ e }\\ x+t\ge 2,\\[6pt] u(x,t)=0, & \text{se }x-t\le 0\\ \text{ e }\\ x+t\ge 2. \end{cases}]

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