Exercício 1.5.28. a) Quantos são os anagramas da palavra “ARARAQUARA”?
b) Quantos são os anagramas da palavra "ARARAQUARA"que não possuem duas letras
juntas?
b) Quantos são os anagramas da palavra "ARARAQUARA"que não possuem duas letras
Passo 1
O enunciado pede dois cálculos de anagramas da palavra “ARARAQUARA” (10 letras no total, com repetições).
Conteúdo: permutações com elementos repetidos e princípio de colocar elementos de um tipo em “cavidades” geradas pelos demais para evitar adjacências.
Precisaremos contar:
Conteúdo: permutações com elementos repetidos e princípio de colocar elementos de um tipo em “cavidades” geradas pelos demais para evitar adjacências.
Precisaremos contar:
- a) permutações de 10 letras em que
aparece 5 vezes, 3 vezes, 1 vez e 1 vez. - b) dessas permutações, só as que não têm duas letras
juntas.
Passo 2
Para (a), usamos a fórmula de permutações com repetição: se temos
posições e tipos com multiplicidades, o total é
Aqui
e as multiplicidades são
para
,
para
,
para
e
para
. Logo
Passo 3
Para (b), queremos anagramas sem duas letras
consecutivas. O truque é primeiro arrumar as letras que não são
. São 5 letras (
), com
repetições de
. O número de permutações delas é
Passo 4
Ao colocar essas 5 letras não-
, formam-se 6 “vãos” (antes da 1ª, entre as letras e depois da última) onde podemos encaixar as 5 letras
sem que fiquem juntas. O número de escolhas de 5 vãos entre os 6 disponíveis é
Passo 5
Multiplicando as duas contagens (permutações das não-
e escolhas dos vãos para os
), obtemos
Resposta
a)
b)
b)