Exercício 1.5.28. a) Quantos são os anagramas da palavra “ARARAQUARA”?
b) Quantos são os anagramas da palavra "ARARAQUARA"que não possuem duas letras A juntas?

Passo 1

O enunciado pede dois cálculos de anagramas da palavra “ARARAQUARA” (10 letras no total, com repetições).
Conteúdo: permutações com elementos repetidos e princípio de colocar elementos de um tipo em “cavidades” geradas pelos demais para evitar adjacências.
Precisaremos contar:
  • a) permutações de 10 letras em que A aparece 5 vezes, R 3 vezes, Q 1 vez e U 1 vez.
  • b) dessas permutações, só as que não têm duas letras A juntas.

Passo 2

Para (a), usamos a fórmula de permutações com repetição: se temos n posições e tipos com multiplicidades, o total é
n!prod (mu<iplicidades)!
Aqui n=10 e as multiplicidades são 5 para A, 3 para R, 1 para Q e 1 para U. Logo
10!5! , 3! , 1! , 1! = 3628800120 cdot 6 cdot 1 cdot 1 =5040

Passo 3

Para (b), queremos anagramas sem duas letras A consecutivas. O truque é primeiro arrumar as letras que não são A. São 5 letras ( R,R,R,Q,U), com 3 repetições de R. O número de permutações delas é
5!3! ,1! ,1! =1206=20

Passo 4

Ao colocar essas 5 letras não- A, formam-se 6 “vãos” (antes da 1ª, entre as letras e depois da última) onde podemos encaixar as 5 letras A sem que fiquem juntas. O número de escolhas de 5 vãos entre os 6 disponíveis é
binom65=6

Passo 5

Multiplicando as duas contagens (permutações das não- A e escolhas dos vãos para os A), obtemos
20 times 6 = 120

Resposta

a) 5040
b) 120

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