Exercício 1.5.31. De quantas maneiras se podem pintar seis esferas iguais, usando-se apenas três cores diferentes?

Passo 1

O enunciado pergunta de quantas maneiras podemos pintar seis esferas idênticas usando apenas três cores diferentes. O conteúdo aqui é combinatória com repetição, pois temos objetos idênticos (esferas) e queremos escolher para cada uma uma cor entre três opções.

Passo 2

Vamos modelar: seja xi o número de esferas pintadas com a cor i, para i=1,2,3. Como temos seis esferas no total, precisamos de soluções inteiras não negativas de
x1 + x2 + x3 = 6,
com xi >= 0.

Passo 3

Na teoria de combinações com repetição, o número de soluções não negativas da equação
x1 + x2 + cdots + xk = n
é dado por
binomn + k - 1k-1

Passo 4

Aqui n=6 (esferas) e k=3 (cores). Logo
binom6 + 3 - 13 - 1 = binom82 = 28

Resposta

28 maneiras.

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