Exercício 28. Sejam \mathbf{E}=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) uma base de V^{3}, \vec{u}=(1,2,-1)_{\mathbf{E}}, \overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}}, \overrightarrow{f_{2}}=m \overrightarrow{e_{1}}+2 m \overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{3}} e \overrightarrow{f_{3}}=4 \overrightarrow{e_{2}}+3 \overrightarrow{e_{3}}.
(a) Para que valores de m \in \mathbb{R}, \mathbf{F}=\left(\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right) é uma base de V^{3} ?
(b) Nas condições do item (a), calcule m \in \mathbb{R}, para que \vec{u}=(0,1,0)_{\mathbf{F}}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
Dados:
  • A base \mathbf{E}=(\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}) de V^{3}.
  • O vetor \vec{u} tem coordenadas em \mathbf{E} dadas por \vec{u}=(1,2,-1)_{\mathbf{E}}.
  • Os vetores \overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}} são dados em coordenadas de \mathbf{E} por: \overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}}, \qquad \overrightarrow{f_{2}}=m\,\overrightarrow{e_{1}}+2m\,\overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{3}}, \qquad \overrightarrow{f_{3}}=4\,\overrightarrow{e_{2}}+3\,\overrightarrow{e_{3}}.
Perguntas:
(a) Para quais m\in\mathbb{R} o conjunto \mathbf{F}=(\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}) é uma base de V^{3} ?
(b) Nas condições do item (a), encontrar m\in\mathbb{R} tal que \vec{u}=(0,1,0)_{\mathbf{F}}.

Passo 2

Entendendo o que significa “ser uma base” e como testar:
  • Um conjunto de três vetores em V^{3} é base se e somente se for linearmente independente (ou equivalentemente, se o determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas desses vetores em uma base fixa for diferente de zero).
  • Aqui já temos coordenadas de \overrightarrow{f_{i}} em relação a \mathbf{E}. Vou formar a matriz P cujas colunas são essas coordenadas; então \det P\neq0 será a condição para \mathbf{F} ser base.
    Vou explicar e calcular o determinante dependente de m.

Passo 3

Escrever as coordenadas das \overrightarrow{f_{i}} em relação a \mathbf{E} como colunas da matriz P:
  • \overrightarrow{f_{1}} tem coordenadas (1,1,1).
  • \overrightarrow{f_{2}} tem coordenadas (m,2m,-1).
  • \overrightarrow{f_{3}} tem coordenadas (0,4,3).
Assim,
P=\begin{pmatrix} 1 & m & 0\\[4pt] 1 & 2m & 4\\[4pt] 1 & -1 & 3 \end{pmatrix},
onde cada coluna é a coordenada de \overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}} respectivamente.]

Passo 4

Calcular o determinante de P de forma detalhada (vou expandir pela primeira linha para ficar bem claro):
\det P =1\cdot\det\begin{pmatrix}2m & 4\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix} - m\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix} + 0\cdot(\cdots).
Calculemos cada menor:
  • \det\begin{pmatrix}2m & 4\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}=2m\cdot 3 - 4\cdot(-1)=6m+4.
  • \det\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot 3 - 4\cdot 1=3-4=-1.
Substituindo:
\det P = 1\cdot(6m+4) - m\cdot(-1) = 6m+4 + m = 7m+4.
Portanto o determinante é \det P=7m+4.]

Passo 5

Interpretação do resultado para o item (a):
  • \mathbf{F} é uma base se e somente se \det P\neq0.
  • Logo a condição é 7m+4 \neq 0, isto é m \neq -\dfrac{4}{7}.
Portanto, para todo m\in\mathbb{R} com m\neq -\dfrac{4}{7}, o conjunto \mathbf{F} é uma base de V^{3}.

Passo 6

Resolver o item (b): encontrar m tal que \vec{u}=(0,1,0)_{\mathbf{F}}.
Explicação do significado de coordenadas em \mathbf{F}:
  • Se \vec{u}=(c_{1},c_{2},c_{3})_{\mathbf{F}}, isso significa \vec{u}=c_{1}\overrightarrow{f_{1}}+c_{2}\overrightarrow{f_{2}}+c_{3}\overrightarrow{f_{3}}.
  • No caso pedido, \vec{u}=(0,1,0)_{\mathbf{F}} significa exatamente \vec{u}=0\cdot\overrightarrow{f_{1}}+1\cdot\overrightarrow{f_{2}}+0\cdot\overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{f_{2}}.
Portanto precisamos que \overrightarrow{f_{2}} (escrita em coordenadas de \mathbf{E}) seja igual a \vec{u} (também dada em coordenadas de \mathbf{E}). Escrevendo:
\overrightarrow{f_{2}}=(m,\,2m,\,-1)_{\mathbf{E}}, \qquad \vec{u}=(1,\,2,\,-1)_{\mathbf{E}}.
Igualando coordenadas componente a componente:
m=1,\qquad 2m=2,\qquad -1=-1.
As duas primeiras equações dão m=1 (a terceira já é satisfeita). Verificar a condição do item (a): m=1 satisfaz m\neq -\dfrac{4}{7}, então \mathbf{F} é base para esse m e a igualdade das coordenadas é válida.
Conclusão: o valor procurado é m=1.

Resposta

(a) m\neq -\dfrac{4}{7}
(b) m=1

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