Exercício 30. Mostre que três vetores de V^{3} são L.D. se, e somente se, são coplanares.

Passo 1

O que o problema pede e o que temos de dado.
  • Temos três vetores quaisquer u,v,w em V^{3} (um espaço vetorial de dimensão 3).
  • O enunciado pede para mostrar a equivalência: “três vetores de V^{3} são linearmente dependentes (L.D.) se, e somente se, são coplanares”.
Informações relevantes que vamos usar (retidas do enunciado):
  • Os vetores considerados são exatamente três: u,v,w\in V^{3}.
  • A tarefa é provar uma bicondicional: mostrar a implicação em ambos os sentidos (L.D. \Rightarrow coplanares e coplanares \Rightarrow L.D.).

Passo 2

Definições fundamentais — o que significa “linearmente dependentes” e “coplanares”. Explicação didática.
  • Linearmente dependentes: os vetores u,v,w são L.D. se existem escalares \alpha,\beta,\gamma, nem todos nulos, tais que
\alpha u + \beta v + \gamma w = 0.
Isto significa que há uma relação linear não trivial entre eles.
  • Coplanares (no contexto de espaços vetoriais): dizemos que u,v,w são coplanares se todos pertencem a um mesmo plano que passa pela origem; em termos de subespaços, isso quer dizer que \operatorname{span}\{u,v,w\} tem dimensão menor ou igual a 2. Uma forma prática e equivalente de dizer que são coplanares é: existe um par de vetores entre eles cujas combinações lineares geram o terceiro, isto é, existe uma escolha de dois vetores, por exemplo u e v, tal que
w = a u + b v
para alguns escalares a,b.
Comentários práticos: se um dos vetores for o vetor nulo, a dependência é imediata; se os três forem colineares (todos múltiplos de um único vetor), também são coplanares (qualquer reta está contida em infinitos planos) e são L.D. — são casos especiais que se encaixam na definição geral acima.

Passo 3

Prova da implicação 1: se u,v,w são linearmente dependentes, então são coplanares.
  • Partimos da hipótese de dependência: existem \alpha,\beta,\gamma, nem todos zero, com
\alpha u + \beta v + \gamma w = 0.
  • Pelo menos um dentre \alpha,\beta,\gamma é diferente de zero. Sem perda de generalidade suponha \gamma\neq 0 (se \gamma=0 mas \alpha\neq0 ou \beta\neq0 o argumento é análogo trocando os papéis dos vetores).
  • Se \gamma\neq 0, isole w:
w = -\frac{\alpha}{\gamma}\,u - \frac{\beta}{\gamma}\,v.
  • A igualdade acima mostra que w é combinação linear de u e v. Logo w\in\operatorname{span}\{u,v\}.
  • Consequentemente u,v,w pertencem todos ao subespaço \operatorname{span}\{u,v\}, que é um plano (ou uma reta, no caso degenerado) passando pela origem. Portanto u,v,w são coplanares.
Observação didática: o passo chave é simples — a existência de qualquer relação linear não trivial permite sempre resolver para o vetor correspondente ao coeficiente não nulo, mostrando que esse vetor está no plano gerado pelos outros dois.

Passo 4

Prova da implicação 2: se u,v,w são coplanares, então são linearmente dependentes.
  • Por definição de coplanaridade (no sentido vetorial), existe um plano passando pela origem que contém u,v,w. Esse plano é um subespaço de dimensão \le 2.
  • Se a dimensão do plano é exatamente 2, então esse plano pode ser escrito como \operatorname{span}\{p,q\} para alguns vetores p,q. Como u,v,w estão nesse plano, cada um deles é combinação linear de p e q. Em particular, dois dos vetores (ou qualquer par que seja linearmente independente dentro do plano) formam uma base local do plano, e o terceiro é combinação linear desses dois. Em termos práticos, existem escalares a,b tais que, por exemplo,
w = a u + b v
(se os escolhidos u,v forem independentes; se u,v forem dependentes, a dependência entre u,v,w fica ainda mais óbvia — ver próximo parágrafo).
  • Reescrevendo a igualdade acima:
a u + b v - 1\cdot w = 0,
onde os coeficientes não são todos zero (são (a,b,-1)). Isso é exatamente uma relação linear não trivial entre u,v,w. Logo os vetores são L.D.
  • Casos degenerados: se a dimensão do plano for 1 (todos os três vetores são colineares) então já existe um vetor não nulo t e escalares \lambda,\mu,\nu tais que u=\lambda t, v=\mu t, w=\nu t. Então fica claro que há relação linear não trivial (por exemplo \mu u - \lambda v = 0), então também são L.D. Se algum vetor for o zero, também há dependência imediata.
Resumo do raciocínio: coplanaridade significa que um dos vetores está na combinação linear dos outros dois (ou todos estão na mesma reta), o que fornece diretamente uma relação linear não trivial entre eles — portanto são linearmente dependentes.

Passo 5

Fechamento com um exemplo concreto para fixar a ideia (pequena checagem).
  • Tome u=(1,0,0), v=(0,1,0) e w=(1,1,0) em coordenadas de \mathbb{R}^{3}.
  • Observa-se que w = 1\cdot u + 1\cdot v. Portanto u,v,w estão no mesmo plano xy (são coplanares) e, escrevendo
1\cdot u + 1\cdot v - 1\cdot w = 0,
vemos explicitamente uma relação linear não trivial — logo são L.D. Isso ilustra ambos os sentidos da equivalência.

Resposta

Três vetores de V^{3} são linearmente dependentes se, e somente se, são coplanares.

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