Exercício 30. Mostre que três vetores de
são L.D. se, e somente se, são coplanares.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos de dado.
- Temos três vetores quaisquer
em (um espaço vetorial de dimensão 3). - O enunciado pede para mostrar a equivalência: “três vetores de
são linearmente dependentes (L.D.) se, e somente se, são coplanares”.
Informações relevantes que vamos usar (retidas do enunciado):
- Os vetores considerados são exatamente três:
. - A tarefa é provar uma bicondicional: mostrar a implicação em ambos os sentidos (L.D.
coplanares e coplanares L.D.).
Passo 2
Definições fundamentais — o que significa “linearmente dependentes” e “coplanares”. Explicação didática.
- Linearmente dependentes: os vetores
são L.D. se existem escalares , nem todos nulos, tais que
Isto significa que há uma relação linear não trivial entre eles.
- Coplanares (no contexto de espaços vetoriais): dizemos que
são coplanares se todos pertencem a um mesmo plano que passa pela origem; em termos de subespaços, isso quer dizer que tem dimensão menor ou igual a . Uma forma prática e equivalente de dizer que são coplanares é: existe um par de vetores entre eles cujas combinações lineares geram o terceiro, isto é, existe uma escolha de dois vetores, por exemplo e , tal que
para alguns escalares
.
Comentários práticos: se um dos vetores for o vetor nulo, a dependência é imediata; se os três forem colineares (todos múltiplos de um único vetor), também são coplanares (qualquer reta está contida em infinitos planos) e são L.D. — são casos especiais que se encaixam na definição geral acima.
Passo 3
Prova da implicação 1: se
são linearmente dependentes, então são coplanares.
- Partimos da hipótese de dependência: existem
, nem todos zero, com
- Pelo menos um dentre
é diferente de zero. Sem perda de generalidade suponha (se mas ou o argumento é análogo trocando os papéis dos vetores). - Se
, isole :
- A igualdade acima mostra que
é combinação linear de e . Logo . - Consequentemente
pertencem todos ao subespaço , que é um plano (ou uma reta, no caso degenerado) passando pela origem. Portanto são coplanares.
Observação didática: o passo chave é simples — a existência de qualquer relação linear não trivial permite sempre resolver para o vetor correspondente ao coeficiente não nulo, mostrando que esse vetor está no plano gerado pelos outros dois.
Passo 4
Prova da implicação 2: se
são coplanares, então são linearmente dependentes.
- Por definição de coplanaridade (no sentido vetorial), existe um plano passando pela origem que contém
. Esse plano é um subespaço de dimensão . - Se a dimensão do plano é exatamente
, então esse plano pode ser escrito como para alguns vetores . Como estão nesse plano, cada um deles é combinação linear de e . Em particular, dois dos vetores (ou qualquer par que seja linearmente independente dentro do plano) formam uma base local do plano, e o terceiro é combinação linear desses dois. Em termos práticos, existem escalares tais que, por exemplo,
(se os escolhidos
forem independentes; se
forem dependentes, a dependência entre
fica ainda mais óbvia — ver próximo parágrafo).
- Reescrevendo a igualdade acima:
onde os coeficientes não são todos zero (são
). Isso é exatamente uma relação linear não trivial entre
. Logo os vetores são L.D.
- Casos degenerados: se a dimensão do plano for
(todos os três vetores são colineares) então já existe um vetor não nulo e escalares tais que , , . Então fica claro que há relação linear não trivial (por exemplo ), então também são L.D. Se algum vetor for o zero, também há dependência imediata.
Resumo do raciocínio: coplanaridade significa que um dos vetores está na combinação linear dos outros dois (ou todos estão na mesma reta), o que fornece diretamente uma relação linear não trivial entre eles — portanto são linearmente dependentes.
Passo 5
Fechamento com um exemplo concreto para fixar a ideia (pequena checagem).
- Tome
, e em coordenadas de . - Observa-se que
. Portanto estão no mesmo plano (são coplanares) e, escrevendo
vemos explicitamente uma relação linear não trivial — logo são L.D. Isso ilustra ambos os sentidos da equivalência.
Resposta
Três vetores de
são linearmente dependentes se, e somente se, são coplanares.